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2016年灘中学算数2日目1番

この年の灘の問題は平均点が最近では最低となり、難問揃いだったと言えるでしょう。
解法を思いつかない問題というのはないようですが、大変ミスをしやすい問題で限られた時間で高得点をとるの は至難です。
最近「プロ家庭教師が選ぶこの1題」にアップした「継子立て」の問題、2日目の1番に出ました。

2016年2日目問題

次のように、すだれ算をやればいいのですが、途中で迷路に入ってしまう部分があります。
64は最後の周回まで残ることに注意しましょう。



(4)では、16個の整数が残ったので、継子立ての考え方、「2のn乗個の整数を1番目から1 つおきに 取っていった場合は、最後の整数が残る」ことを使って、16個目の1984が残ります。


28年度灘2日目 解説     

[1]   
(1) 2016=2×1008より奇数が1008個取り除かれて、偶数列が残る。
よって、1009回目は、1番目の偶数の2が取り除かれる。

答え 2


(2) 
2016÷2=1008組の数の中で、1008個の2の倍数が残る。
2、4、6、・・・・・・・・・・2016
504組中の数の中で、504個の4の倍数が残る。
4、8、12、・・・・・・・・・・2016
252組中の数の中で、252個の8の倍数が残る。
8、16、・・・・・・・・・・・・2016
126組中の数の中で、126個の16の倍数が残る。
16、32、・・・・・・・・・・・・2016
ところで1000は1000÷16=62あまり8なので、62+1=63回目に取り除かれる。
はじめからたすと、1008+504+252+63=1827回目に取り除かれる。

答え 1827
(3) 続きを考える。
63組中の数の中で、63個の32の倍数が残る。
32、64、・・・・・・・・・・・・2016
次は64で割って32余る数が取り除かれる。2016は64で割ると32余る数なので、
2016÷64=31あまり32より、31+1=32回目に取り除かれる。
はじめからたすと、1008+504+252+126+63+32=1985回目に取り除かれる。

答え 1985

(4) (3)の結果、64の倍数が残る。
64、128、・・・・・・・・・・1920、1984(64×31にあたる)
あと2000−1985=15回の操作で残る16枚のカードは、128で割ると64余る数である。

答え @ 128  A 64
(5) (4)の結果残った16枚のカードは次の通り。
64、192、・・・・・・・1984( =64+128×15)
16は2の4乗なので、継子立ての考え方よりあと15回カードを取り除くと、最後の1984が残る。

答え 1984



2016年灘中学算数2日目の3番

(1)と(2)は「光の通らない 部分を、(3)は「光の通る部分を求めると簡単です。(3)は正面から見た図を書くのがポイントです。 断 頭三角柱の体積=底面積×高さの平均ですね。立体をちょん切るのが嫌な人にオススメです。

[3] (1) 

光の通らない部分は図のように、四角すい台になるので、上の 延長部分の体積は、3×3×3÷3=9㎤であり、相似比2:1の3乗比8:1より台部分は9㎤ ×(2×2×2−1)=63㎤
立方体の下半分も光が通らないので、6×6×6−63−6×6×6÷2=45㎤

答え 45

(2)


同様にして、光の通らない部分は断頭三角柱となり、(3×6÷2)×(3+3+6)÷3=36㎤
216−36=180㎤

答え 180

        
          
    
       

(3) 



図より、光の通る部分を左部分の断頭三角柱と右部分の四角柱に分ける。
光源の高さ4cmと斜線部の辺3cm:立方体の辺6cmの比1:2から頂点Bから下に4cmの所に 影が落ちることがわかる。これより3cm×2=6cm(影の下辺)がわかる。



3cm×8/4=6cm、ピラミッド相似の底辺部分の2:1から6cm×1/3=2cm 、2cm−1cm=1cmがわかる。
以上から、(3+1.5)÷2×6×6+(3×4÷2)×(3+3+4)/3=81+20=101 ㎤

答え 101


2015年 灘中学算数の 2日目の1番の問題

水 平な床の上に置かれた、内側の底面積が1u、深さが50cmの直方体の形をし
た水そうに、いくらかの水が入っています。この水そうの中に、底面積が0.7u、高さ
が50cmの直方体の物体Aをその底面積を水平に保ちながらゆっくり沈めてゆきます。
物体Aの側面と水そうの側面には、どちらも下の端を0mとし、真上に向けて目盛り
がついています。ただし、水そうの底面の厚みは考えません。
(1) 物体Aの底面が水面にふれている状態から物体Aを沈めて、その底面を3cmだけ水そうの底 面に 近づけたとき、水はあふれませんでした。このとき水面は水そうの目盛りで⬜︎cm上がり、物体Aの目盛 りで⬜︎cmのところにありました。

(2) 水面が物体Aの目盛りで30cmのところにくるまで物体Aを沈めたとき、水面は水そうの目 盛り で50cmのところまで上がりましたが、水はあふれませんでした。
(ア) 物体Aを沈める前の水面は、水そうの目盛りで何cmのところにありました。

(イ) 物体Aを水そうの底まで沈めて水をあふれさせたのち、物体Aをゆっくり引き上
げました。水面が水そうの目盛りで(ア)の答えと同じところまで下がったとき、水面は
物体Aの目盛りで何cmのとこまでありますか。

解説

(1) 水面に3cm近づけると、物体Aのめもりは3cmを超えて水面が上昇する。
物体AとAと水 そうの間のすきまの底面積の比が、7:3なので、水面は水そうの目盛り
で3cm×7/3=7cmあがる。
このとき物体Aのめもりは、Aを下に3cm下げているので、3cm+7cm=10cmのとこ
ろに水面が 来る。
答え 7cm  10cm


(2) (ア) (1)とちがい、この場合は水面が30cmのところにあるのが分かっているので、 30cm×7000㎠÷10000㎠=21cm  よって50−21=29cm 


(参考) (1)と同様にして解くとすれば次のようになる。

Aを⬜︎cm下げたとき水そうの目盛りは、⬜︎×7/3cm上昇 し、このとき物体Aの目盛りは、 ⬜︎+⬜︎×7/3=⬜︎×10/3cmになる。すなわち、⬜︎×10/3=30cmなので、 ⬜︎=30×3/10=9cm  よって、9cm×7/3+はじめ=50cmであり、はじめ=50−21=29cmとなる。

答え 29

(イ) 図の水色の部分の水が、緑の部分に移動するので、3000㎠×21cm÷7000 ㎠=9cm よって29cm−9cm=20cm となる。




答え 20
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 25年度灘中学算数の2日目の問題から

  中学受験算数の最高峰、灘中学の今年の問題から1つ紹介します。昨年は大変簡単でしたが、
今年は隔年現象で予想通り難化しました。算数の定番、立体の切断です。
よく考えればそれほど難しくはありません。

[問題]  辺の長さが1cm,2cm,3cmの直方体の形をした、中身の詰ま
ったブロック36個を右の図1のように、積み重ねて、1辺の長さが
6cmの立方体 を作 り ました。 
 (
2013年灘中学2日目5番)

       (1) この立方体を頂点A,B,Cを通る平面で切り、Dを含む側の立体
を残します。
このとき切り口にあるブロックのつなぎ目を
図2に書き込みなさい。         

(2) 図2の立体をさらに D,B,E を通る平面で切り、Cを含む
立体を残します。このとき、切り口にあるブロックのつなぎ目を図3
に書き込みなさい。







(3)  図3の立体は□個 のブロックでできています。そのうち、もとの直方体の形をしたブロックは
全部で□個 あります。

(4) 図3の立体に含まれるブロックのうち、体積が最も小さいものを考えま す。そのブロック
の体積を求めなさい。

答え     ㎤

解説

(1)  (2)  答え 下図


(3) 手前左側のブロックは、つなぎ目で区切られた部分を数えて、17個あ り、奥右側のブロックは2面
の切断によって1つもなくならないので、6×3=18個ある。
よって、17+18=35個のブロックがある。また、切断で直方体の形でなくなったブロックは、頂点Cを
含む上から3段目までと、その奥にある1個だけであるので、奥右側の18個のうち4個をひいて、
18−4=14個が直方体の形をしたブ ロックである。

答え 35個、14個


(4) 
 
上図のように、青い部分の立体が体積が最も小さい。上から見ると次のようになる。底面が1辺1cmの直角二等辺 三角形、高さが1cmの三角すいなので、1×1÷2×1÷3=1/6㎤である。
答え 1/6㎤




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