 お知らせ・・・灘の算数単元別460題
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2020年灘中学算数２日目の５番の解 説
今
年の灘中学の問題は基本的な内容が多く出題されました。
基本的とは言ってもミスをしやすい出題で正確に時間内に解くのはいつものように大変です。
算数の出来不出来が結果に直結し、算数の得意な生徒に有利な年になりました。
切断面の問題では交線が重要ですが、交線を見つけるには交点を見つけて結べばよいですね。
基本通りにやればそれほど想像力はいりません。
[5] (1)
対称面PSURQTで立方体を二等分しているのでCを含む立体から三角すいP-BTC、P−TQC、
C−GQR、S-CDU、S-CURを引 けばよい。
63/2−(32/2×６×1/3)×３個−(36×3
/8×３×1/3)×２個＝54㎤
 2019年灘中学算数1
日目の図形問題の解説
[9]
 
左図のようにBPを
延長して正三角形 APQを作る。２つの青色 三角形は合同。
右図のように三角形ABQをタイルのように並べて正三角形ABT(＝正三角形ABC)の面積比を求め
る。
1×1:4×4＝1：16より、三角形QRS＝?、三角形ABT＝?−?×3＝? となる。
左図にもどって、四角形ABCQ＝?＋?＝?、BP：PQ＝2:1で加比の理より凹型四角形
ABCP＝?×2/3＝?これよ
り三角形APC＝?−?＝?、すなわち三角形APC＝１㎠÷?×?＝1/7㎠である。
答
え １／７㎠
[10]
正八面体は黒丸６個を結ん
だ立体で、このほか に同じ対応する部分に４個 ある(大きな４つの正方形が目印)。
この立体は３面が色が塗られている。
また正四面体は元の全体の正四面体の頂点４箇所に１つずつあるもの(赤い矢印)が３面に色が塗られてい
る。
その他の正四面体(黒い矢印)は２面に色が塗られている。
答
え? ６ ? ８
2023年度灘中学算数２日目の問題と解説
[1] 次の 【操作】 を考えます。
【操作】 奇数に対しては３を足す。偶数に対しては２で割る。
たとえば、１から始めて【操作】を１回行うと、４が得られます。また、５から始
めて
【操作】を４回行うと、５→８→４→２→１
となり、１が得られます。
（１） ８１から始めて 【操作】 を
３回行うと、
が得られます。また、８１から
始めて 【操作】 を２０２３回行うと、 が得られます。
（２） 整数Aから始めて 【操作】
を６回行うと、始めて１が得られました。A として考
えられる数をすべて求めなさい。
(3) ２×２×・・・×２−１から始めて 【操作】 を何回行うと、始めて１が得られますか。
[解説]
(1) 81→ ８４→４２→２１→
２４→１２→６→３→６→３・・・・
７回目以降の奇数回は３になる。
答え ２１、３
（２） 「３をひく」、「２倍する」というふうに逆戻しをしていく。
2倍すると必ず偶数になるが、３をひくと偶数になってしまう場合はのぞく。
答え
7,20,26,29,64
(3) 
３回ごと
に＋２、＋１、＋４を繰り返すと見ると、１周期めに上つき文字が１減り２周期めに上つき文
字が２減っているので周期にならない。
そこで???、???・・・の繰り返しと見ると上つき文字が２ずつ減り、＋４、＋２、＋１
も 繰り返す。
最後は1+1＝２となり、あと操作１回で２÷２＝１となる。
２０２２÷２＝１０１１周期繰り返すので、はじめの２回の操作から足して、
2回＋1011×3回＋１回＝3036回
答え ３０３６回
[2] 図のような、すべての面が１辺の長さが１cmの正三角形である三角すいがあり、太線でかかれた辺にはインクがぬられています。この三角すいを紙
の上に置き、紙にふれている面のいずれかの辺を軸としてすべらないように何回かころがします。
ただし、インクは紙についても辺からなくならないものとします。
(1) ２回転がす場合、紙についたインクの線は、長さの合計が３cmのものが３通り、
5cmのものが全部で４通りあります。それらを下の図に書き入れなさい。ただし、転がす前に紙
についているインクの線はあらかじめ印刷されています。。また、解答の順序は問いません。
(２） ３回転がします。紙についたインクの線の
長さの合計が最も大きくなるとき、それはです。また、そのような転がし方は全部で通りあります。
（３） ４回転がします。紙についたインクの線の長さの合計が最も大きくなる
とき、それは何cmですか。また、そのような転がし方は全部で何通りあります
か。
[解説]
(1)
上図左では、太線を軸として回転するのであと１cmのインクしかつかない。
上図右では、ADを軸として回転するとあと2cmのインクをつけることができる。
答え 7cm、２通り
（３） （２）の右図の状態からさらに１回転するので
(BD方向とAB方向の２通り)、太線を軸とすることになり、7cm＋1cm＝8cmが最大。
また（２）の左図の状態からさらに2回転すると、下図左のように４回転目に細線を軸に回転する
ことになりやはり8cmの合計長さにできる(下図はCD方向に回転しているがCA方向に回転す
ることもできる)。
また、下図右のように回転することもできる。以上から、2×2+2×2＋2×1＝10通り
答え ８cm、１０通り
[3] 生徒が25人いるクラスで10点満点のテス
トを行いました。試験は１番、２番、３番の３問からなり、配点は１番が２点、２番が３
点、３番が５点です。部分点はありません。
試験の結果、２番を正解した人は全部で１４人、３番を正解した人は全部で14人いまし
た。また３問中ちょうど２問正解した人は全部で16人おり、その１６人の得点の平均は
6.5点でした。３問中ちょうど1問正解した生徒の得点の平均は3.5点でした。クラ
ス全体の得点の平均は5.68点でした。得点が０点の生徒はいませんでした。
（１） １番を正解した生徒の人数を求めなさい。
(2) ３問中ちようど１問正解した生徒の人数を求めなさい。
（３） この試験の得点の度数分布表としてあり得るものは下の３通りです。空欄をうめ
なさい。
[解説]
（１） 1番の正解者の合計点数は、全員の合計点数から、２番と３番の正解者の合計点
数をひいて、5.68×25ー（3×14＋5×14)＝30点であるので、３０点÷２
点＝15人
答え １５人
（２）
 全
問正解者を□人とすると、左のベン図から、15＋14＋14ー１６ー□×２＝２５となる。真ん中は３回重なるの
で２回分ひく。
□＝１人なので、16+1=17人
は複数正解者になる。したがってちょうど１問を正解した人は25ー
17＝8人となる。
答え ８人
（３） 5.68×25ー6.5×16＝38点は１問または３問の正
解者の合計だから、１問正解者の合計点数は、38ー10＝28点とな
る。
３つ目の表のとき、２
問正解者の104点ー８点×6人＝56点で１０人より、７×□＋5×○＝５６を解い
て、
（□、○)＝（3、7)
1問正解者の28点で８人より、2×▽＋3×◎＋５×△＝28を解いて、
△＝４のとき、（▽、
◎）＝
（４、０）となる。このとき５点の生徒は
7＋4＝11人となる。
２つめの表のとき、同様にして、７×□＋5×○＝72
を 解いて、
（□、○)＝（6、6)
2×▽＋3×◎＋５×△＝28
を解いて、△＝３
のとき、（▽、
◎)＝ （２、３)
このとき５点の生徒は
6+3＝９ 人となる。
１つ目の表も同様にする。
答
え
[4]
右の図で、太線、細線の六角形
はどちらも１辺の長さが6cm
の正六角形です。
 点
Bは点Aを中心とする半径
6cmの円周上を１周します。
点Bが動くとともに、点Bと点
Cを結ぶ真っ直ぐな線、
点
Bと点Dを結ぶ真っ直ぐな線、点
Bと点Eを結ぶ真っ直ぐな線、点
Bと点Fを結ぶ真っ直ぐな線が
それぞれ向きを変えないよう
に、点C,D,E,Fも動きま
す。たとえば、Bが半周した
時、DはAの位置にあります。
ここで、円周率は３．１４と
し、この図において三角形
ABCの面積は15.6㎠であ
るとします。
（１）点B,Cを結ぶまっす
ぐな線が通過する部分のうち、
太線の正六角形の内側にある部
分を斜線で図にかき入れまし
た。この部分の面積を求めなさ
い。
（２） 点C、点Eを結ぶまっすぐな線が通過する部分のうち、太線の正六角形の内側に
ある部分を（１）の図にならってかき入れ、面積を求めなさい。
（３） 点D、点Fを結ぶまっすぐな線が通過する部分のうち、太線の正六角形の内側に
ある部分を（１）の図にならって図にかき入れ、面積を求めなさい。
[解説]
（１） 15.6×６−６×６×π÷３＝５５．９２㎠
答え ５５．９２㎠
（２） 下図のように青い線CEが移動する。Bを時
計回りに半周するときの図とあと半周するときの図は上下対称となる。
15.6㎠×５個ー（６×６×π÷６ー１５．６）×２＝７１．５２㎠
答え ７１．５２㎠
（３） 下図のように青い線FDが時計回りに移動する。直線部分ができることに注意
する。
3×6ー１５．６÷２ー6×6×π÷12＝0.78㎠
15.6×2＋0.78×2＝32.76㎠
答え 32.76㎠
[5] 図のように、１辺の長さが6cmの立方体ABCD-EFGHがあります。
辺DA,AB,BF,CD,CG,BCの真ん中の点をそれぞれ
I,J,K,L,M,Nとします。３点IJKを通る平面を㋐、３点I,L,Mを通る平面を㋑ 、３点J,M,N
を通る平面を㋒とします。
角すいの体積は、（底面積)×(高さ)×1/3で求められます。
(1) 平面㋐で立方体を２つの立体に切り分けたとき、点Hを含む立体の体積は㎤です。
（２） ３つの平面㋐、㋑、㋒で立方体をいくつかの立体に切り分けたとき、点Gを含む
立体の体積を求めなさい。
（３） ２つの平面㋐、㋑で立方体をいくつかの立体に分けたとき、点Dを含む立体の体
積を求めなさい。
（４） ２つの平面㋐、㋑で立方体をいくつかの立体に切り分けたとき、点Cを含む立体
をVとします。また点Bと点Jの真ん中の点をP、点Cと点Mの真ん中の点をQとしま
す。３点N,P,Qを通る平面で立体Vを２つの立体に切り分けたとき、点Iを含む立体
の体積を求めなさい。
[解説]
（１） 右図のように、切断面は対称面となるので、立方体の体積を２等分する。
6×6×6÷２＝108㎤
答え １０８㎤
（２）
切断面の辺どうしの交点を書き入れ（黒い点)、それらを順に結ぶと、下図右のような立
体ができる。手前の三角すいと奥の正四面体の和となる。
１辺3cmの立方体から三角すいを３つ引けばよいので、
３×３×３ー（３×３÷２×３÷３）×３＝１３．５㎤
 答え １３．５㎤
(3) (2)で求めた立体の13.5㎤と青い三角形を底面とする三角すいの和は、
13.5+6×３÷２＝２２．５㎤で、これが上下にあるので、22.5×２＝45㎤
答え ４５㎤
（４）
上の図で、緑の三角すい＋赤い三角すい＋青い三角すい台＋水色の三角すい台の合計体積
となる。ところで青い三角すい台と水色の三角すい台を合わせ
ると１辺３cmの立方体から赤い三角すいの体積を引いたものとなるので、
4.5㎤×２＋27㎤×(1ー1/6)＝31.5㎤
答え 31.5㎤
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