継子立て

1から100までの数字が100個、図のようにならべてあります。
1からはじめて1つおきに数字を取って行きます。最後に残る数字を答えなさい。



  解説
2のn乗枚のカード、例えば8枚のカードが並んでいる時、1枚目から1枚おきにカードを取って行くと最後に8枚目のカードが残る。
また、2枚目から1枚おきにカードを取って行くと最後に1枚目のカードが残る。

このことを使って解く。
100に最も近い2のn乗の数は、2×2×2×2×2×2=64なので、数字の残りが64個になるように36個をまず取り除く。
ところで36番目の奇数は、2×36−1=71なので、72からはじまる64個の数字が残された。
続きは72の次すなわち2番目の73から1つおきに取り除かれるので、1番目の数字の72が最後に残る。

答え  72



 考察

カードの残り方を、8枚ならべて実験します。4枚でも16枚でもかまいません。
並べたカードが2の累乗枚ではないときは、そうなるようにカードを先に取り除きます。
あとは最初のカードが残るか、最後のカードが残るかの判断だけです。




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