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家庭教師 Zoom授業 算数定理集
灘の算数
プロ家庭教師、尾関が受験算数の核心的問題を紹介します。
撹乱順列
A君,B 君,C君,D君の４人にA,B,C,Dの文字が1つずつ書いてある４枚のカードを1枚ずつ配ります。
もらったカードの文字と自分の名前の文字が一致する人が1人もいないようなカードの配り方は何通りありますか。
同じように５人に５枚のカードを配る場合は、このようなカードの配り方は何通りありますか。
解説
A君がBのカードをもらい、B君がCのカードをもらうことを、A→B→C という風に表すことにする。
４人のとき、４人で循環する場合が、下図のように４つの円順列になるので、 (4−１)！＝３×２×１＝６通りある。２人と２ 人でそれぞれ循環するときは、例えばA君を固定し、その相手をB,C,D３人から１人選ぶので、３通りあり、残り２人は自動的に決定す る。よって、６＋３＝９通り
答え ９通り
５人のとき、同様にして、５人で循環するときは、１人を固定して、 (5−1)！＝24通り。２人と３人でそれぞれ循環するときは、５人から２人を選ぶのに5×4÷２＝10通りあり、そのそれぞれについ て、残り３人の円順列で、(3−1)!＝２通りあるので、10×2＝20通り。よって全部で、24＋20＝44 通りある。
答 え 44通り
モンモール数→ 1,2,3・・・nにおいてi番目が(iはn以下の整数)iでない順列(攪乱数列)の総数をモンモール数といいます。
n=1のとき、モンモール数＝0
今年の洛星中学の入試問題で、攪乱数列を使って解く問題が出題されています。 n=4まででしたら辞書式配列で書き上げられます。ヒニクヨシ(1,2,9,44)とでも覚えておきましょう。
n=2のとき、モンモール数＝１
n=3のとき、モンモール数＝2
n=4のとき、モンモール数＝9
n=5のとき、モンモール数＝44
n=6のとき、モンモール数＝265
n=7のとき、モンモール数＝１854
