[中学受験算数ー攪乱数列(モンモール数)]

 A君,B 君,C君,D君の4人にA,B,C,Dの文字が1つずつ書いてある4枚のカードを1枚ずつ配ります。
もらったカードの文字と自分の名前の文字が一致する人が1人もいないようなカードの配り方は何通りありますか。
同じように5人に5枚のカードを配る場合は、このようなカードの配り方は何通りありますか。


解説

A君がBのカードをもらい、B君がCのカードをもらうことを、A→B→C という風に表すことにする。
 4人のとき、4人で循環する場合が、下図のように4つの円順列になるので、(4−1)!=3×2×1=6通りある。2人と2 人でそれぞれ循環するときは、例えばA君を固定し、その相手をB,C,D3人から1人選ぶので、3通りあり、残り2人は自動的に決定す る。よって、6+3=9通り

攪乱数列

答え 9通り

5人のとき、同様にして、5人で循環するときは、1人を固定して、 (5−1)!=24通り。2人と3人でそれぞれ循環するときは、5人から2人を選ぶのに5×4÷2=10通りあり、そのそれぞれについ て、残り3人の円順列で、(3−1)!=2通りあるので、10×2=20通り。よって全部で、24+20=44通りある。

答 え 44通り


 考察

モンモール数→ 1,2,3・・・nにおいてi番目が(iはn以下の整数)iでない順列(攪乱数列)の総数をモンモール数といいます。

n=1のとき、モンモール数=0
n=2のとき、モンモール数=1
n=3のとき、モンモール数=2
n=4のとき、モンモール数=9
n=5のとき、モンモール数=44
n=6のとき、モンモール数=265
n=7のとき、モンモール数=1854

今年の洛星中学の入試問題で、攪乱数列を使って解く問題が出題されています。 n=4まででしたら辞書式配列で書き上げられます。ヒニクヨシ(1,2,9,44)とでも覚えておきましょう。


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