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家 庭教師 Zoom 授業 算数定理集
灘の算数
プロ家庭教師、尾関が受験理科の核心的問題を紹介します。
水圧機
(1) 図１のように、断面積10㎤と20㎤のU字 管に水を入れたものがあります。この左の管に図２のように、断面積10㎠、厚さ 2cmの円筒ピストン(斜線部分)をぴったりはめこんだところ、左右の水位の差が10cmになりました。このピストンの重さはいくらです か。ただし、ピストンはなめらかに動き、水はもれてこないものとします。
(ヒント) ピストンを水に置きかえて考えなさい。
(2) 図２の状態から、図３のように、右の管に断 面積20㎠、厚さ4cmの円筒ピストン(斜線部分)をぴったりはめこんだところ、左 右の水位が同じになりました。右のピストンの重さはいくらですか。また、左の管のピストン1㎤の重さと、右の管のピストン1㎤の重さとの 比を、簡単な整数比で答えなさい。
(3) 図３の状態から、図４ のように、左右の管のピストンの上に重さ240gのおもりをそれぞれ乗せると、左の管の水位は図３の位置より下が り、右の管の水位は上がります。左右の管の水位の差aは何cmですか。また、左の管の水位が図３の水位より下がる きょりbは何cmです か。
(1)
解説
右の図のように、ピ ストンを水(青い部分)に置きかえて考えられるので,
10㎠×10cm＝100㎤の体積の水の重さは、100gとなり、これがピストンの重さと等しい。
答え100g
(2)
右の図のように、ピストンを水(青い部分)に置きかえると、水面は左右同じになるので、右の管のピストンは20㎠×10cm＝200㎤の体積の水と同じ重 さになる。よって、200g
がピストンの重さである。
答え 200g
(3)240gのおもりは左の 管で、240㎤÷10㎠＝24cm分 の水と同じで、右の管では、240 ㎤÷20㎠＝12cm分の水と同じな ので、(2)のピストンの10cm分と合わせて、10cm＋24cm=34cm 、10cm＋12cm＝22cm の水 にそれぞれおきかえられる。右の図のように水面の高さ(計算上の高さ)は等しいので、実際の水面の高さの差 a＝３４cm−２２cm＝1２cmとなる。
また、このとき、この１２cm分の水は管の断面積の比１：2の逆比で2：1の高さで移動したと考えられるので、 12cm÷ (１＋2)×2＝8cm左で下がり、4cm右で上がったと考えられる。よってb＝8cm 答え a＝１２cm、 b＝８cm
(3)のbですが、左の管から右の管へ移動し た水が10㎠×８cm＝80㎤で、このとき右の管では水面が80㎤÷20㎠＝４cm上昇した ことになります。結果、水面の差12cmを断面積の逆比2：1に分ければよいことになります。
