同じ ものを含む順列         中学受験プロ 家庭教師 のページ


応用公式17

n個のものならべるとき、p個が同じもので、q個がそれと異なる 同じもので、r個がさらにそれ と異なる同じもの・・・・・であるとき、並べ方の総数(順列)は

n!÷ (p!×q!×r!・・・・) となる。ただ し、例えば、4!=4×3×2×1 である。


(問い)

9枚のカード2、2、3、3、3、4、4、4、4 のうち4枚を 取り出して、並べてできる4け たの整数は全部で何通りあるか。    (灘)

解答  まず、4枚の組み合わせを考えます。数字やアルファベットが逆戻りしないように並べる仕方を、辞書 式配列といいますが、重なりを避けて正確に組み合わせをぬきだすのに 便利な方法です。

ここでは、4けたの整数を小さいもの順に並べます。

2233 2234 2244 2333 2334 2344 2444 3334 3344 3444 4444

以上のうち、4個の数字のうち、同じものが2個で、さらに他の2 個が同じものは

2233 2244 3344 の3個ある。

4個の数字のうち、同じものが2個だけあるものは。

2234 2334 2344 の3個ある。

4個の数字のうち、同じものが3個あるものは

2333 2444 3334  3444 の4個ある。

それぞれの順列を求めればよいので、

4!÷ (2!×2!)×3+4!÷2!×3+4!÷3!×4+1=71通り と なる。

 

考察

 A B C の3つの文字を辞書式に配列すると、

ABC  ACB BAC BCA CAB CBA となります。