洛南中学2011年 算数


[4] 図のように、面積が16㎠の正方形ABCDの各辺の上に4点P,Q,R,Sをとります。三角形ABP、三角形CQP、三角形DQR、三角形ASR の面積はすべて2㎠で、APとRSの交わる点をTとします。このとき、次の問いに答えなさい。





(1) ASの長さは何cmですか。
(2) (ATの長さ):(TPの長さ) を、最も簡単な整数の比で表しなさい。
(3) (RTの長さ):(TSの長さ) 
を、最も簡単な整数の 比で表しなさい。
(4) 四角形PQRTの面積は何㎠ですか。






<解説>
(1) 1辺4cmの正方形である。すべての面積が2㎠とあるので、三角形ABPで、底辺BPを逆算すると、 2×2÷4=1cm。よってPC=4−1=3cmとなる。三角形PCQにおいて、同様に高さを逆算して、 CQ=2×2÷3=4/3cmとなる。同じことを繰り返して、DQ=4−4/3=8/3cm、DR=4÷8 /3=3/2cm、AR=4−3/2=5/2cm、よってAS=4÷5/2=8/5cm
答え 8/5cm


(2) SB=4−8/5=12/5cm  よって、12/5:4=3:5  図の青いピラミッドより、⑤ー=②=4cmー 3/2cm=5/2cmよって、③=5/2×3/2=15/4cm これよりUP=15/4+1=19/4cmとなる。図の赤いピラミッドよ り、AT:TP=5/2:19/4=10:19 である。
答え 10:19




(3) ピラミッドABPより、SV=1cm÷5×2=2/5cmである。緑のチョウチョより、5/2:2 /5=25:4=RT:TS
答え 25:4


(4) 2㎠の4つの三角形を全部たすと、三角形ASTの部分が重なってしまう。(3)の比より、三角形AST=2㎠÷ (25+4)×4=8/29㎠である。よって、四角形PQRT=16㎠−2㎠×4+8/29㎠=240/29㎠ である。
答え 240/29㎠









[5] 1か ら20までの数が1つずつ書かれた20枚のカードがあります。この中から1枚目を取り出し、それをもとにもどさないで2枚目を取り出します。そして1枚目 と2枚目のカードの数の和を計算します。このとき、次の問いに答えなさい。



(1) 和が10になる取り出し方は何通りありますか。
(2) 和が30になる取り出し方は何通りありますか。
(3) 取り出し方が最も多いのは、和がいくつのときですか。
(4) 和が11以上31以下になる取り出し方は全部で何通りありますか。
 
 

<解説>
(1) (1枚目、2枚目)と並べると、(1,9)  (2,8)・・・・(9,1)となるが、(4,4)は含まないので、9−1=8通りある。
答え 8通り 

(2) 同様に、(10,20) (11,19)・・・(20,11) のうち(15,15)は含まないので、11−1=10通り
答え 10通り

(3) 

10
11
・・・
19
20
21
22
23
・・・
30
31
通り
8
10

18
18
20
18
18

10
10

表より、和が21のときで、20通りである。
答え 和21、20通り
(4) 和が12〜30の偶数のとき、場合の数が1通りずつ減るので、減らない と考えたときの連続する整数の和からそれらを引けばよい。
10+11+12+・・・+20+19+・・・11+10−10= (10+20)×11÷2+(19+10)×10÷2−10=300通り
答え 300通り