(5)　次の図の網目部分の図形を軸ABで回転したときにできる立体の体積は、黒い部分 の図形を軸ABで回転したときにできる立体の体積の何倍ですか。ただし、各マス目は正方形です。

＜解説>

(5)　

小さな黒い部分を回転してできる円すいの体積は、半径×半径×高 さ＝1×1×1＝1に比例する。円すい 台の体積の公式は、上底面積(A)×下底面積(B)から２乗を取った数をCとすると、(A＋B＋C)×高 さ÷３と なるので、斜線部の１段目から３段目までの体積合計は、2×2×2＋ (2×2＋3×3＋2×3)×3＋ (3×3＋5×5＋3×5)×2＝163に比例する。

[3]　図の四角形ABCD は長方形です。このとき、次の問いに答えなさい。

(1)　(BEの長さ)：(EFの長さ)：(FGの長さ)を、最も簡単な整数の比で表しなさい。

(2)　黒い部分の面積は何㎠ですか。(　　　　　㎠)

(3)　斜線部の面積は何㎠ですか。(　　　　　㎠)

＜解説＞

(1)　下の図で、黄色い三角形の相似から、4cm：6cm＝2：3＝BE：FGとなり、緑の三角形の相似から、BE：EF＝3：1 となる。よって、 BE：EF：FG＝3：1：2　　答え　 3：1：2

(2)　BE：EG＝3：3＝1：1だから、黒い三角形の高さは4cm÷2＝2cmとなるので、 3×2÷2＝3 ㎠

(3)　平行四辺形BPQG＝1cm×4cm＝4㎠であり。その底辺をBG と見ると、EF：BG＝1：(3＋1＋2)＝1：6なので、斜線部の三角形の面積は、4㎠÷6＝2/3㎠

[4]　ビーカーAにはある濃度の食塩水が240g、ビーカーBには濃度が5%の食塩水 がいくらか入っています。いま、AからBへ90g移すと、ビーカーBの食塩水の濃度は5.6%になりました。さらに、Aの残りの食塩 水をすべて移すと、B の食塩水の濃度は6.1%になりました。このとき、次の問いに答えなさい。

(1)　Aに入っていた食塩水の濃度は何%ですか。(　　　　%)

(2)　Bに入っていた5%の食塩水は何g ですか。(　　　　　g)

＜解説＞

(1)　

(5.6−5)：(6.1−5)＝0.6：1.1＝6：11が 右回りのモーメントの比であり、これと左回りのモーメントがつ りあっているので、(6÷90)：(11÷240)＝16：11が わかる。16−11＝5が 6.1−5.6＝0.5％にあたる ので、 0.5％÷5×16＝1.6%
  5.6%＋1.6％＝7.2％　がAの濃度となる。

(2)　90×(7.2−5.6)＝B×(5.6−5)　より B＝240g

[5]　半径1cmの円を、長方形の中に図の(ア),(イ)の2通りの方法でできるだけ多くならべていくことを考えます。

次の長方形の中に円をならべていくとき、(ア)と(イ)のならべかたでは、どちらの方が何個多くならべることができますか。ただし、 1辺の長さが1cmの 正三角形の高さは0.87cmとします。

(1)　たて8cm、横30cmの長方形　(　　の方が　　　個多い)

(2)　縦20cm,横30cmの長方形　(　　の方が　　個多い)

＜解説＞

(1)　アでは、(8cm÷2cm)×(30cm÷2cm)＝60個ならび、イでは、 1.74cm×3＋2cm＝7.22cmより3＋1＝4行ならぶので、15個×2＋14 個×2＝58個ならぶ。答え　 アの方が2個多い

(2)　アでは、10×15＝150個ならび、イでは、1.74cm×10＋2cm＝19.4cmより 10＋1＝11行ならぶの で、(15個＋14個)×5＋15個＝160個ならぶ。答え　イの方が10個多い

[6]　図のように、周の長さが1200mの正六角形の形をした池があり、BE間には、まっすぐな橋がかかっています。太郎君はBを 出発して毎分100m の速さでEまでこの橋を渡ります。次郎君はAを出発してL との間を、花子さんはAを出発してMとの間をそれぞれ一定の速さのボートでまっすぐ往復します。３人は同時に出発し、次郎君と花子さ んは、同時にAに戻る まで休むことなく往復し続けました。次郎君と花子さんがそれぞれはじめて橋の下にきたとき、その真上に太郎君がいました。L,Mはそ れぞれCD,DEの真 中の点です。このとき、次の問いに答えなさい。

(1)　次郎君がはじめて橋の下にくるのは、出発してから何分何秒後ですか。

(　　　分　　秒後)

(2)　(次郎君のボートの速さ)：(花子さんのボートの速さ)を、最も簡単な整数の比で表しなさい。

(次郎の速さ)：(花子の速さ)　(　　：　　)

(3)　次郎君と花子さんが同時にAに戻るのは出発してから何分後ですか。また、この間２人がともに斜線部の範囲にいるのは何分何秒 間ですか。

(　　　分後) (　　 分　　秒間)

＜解説＞

(1)　 赤いピラミッドの相似から、太郎は 300m÷2＝150mを毎分 100mで進むので、 150÷100＝1.5分後に次郎が橋の下にいる。

(2)　青いピラミッドの相似から、400m÷(1＋2)＝400/3m、400m−400/3m＝800/3mを太 郎は進むので、800 /3÷100＝8/3分後に花子が橋の下にいる。ところでAL＝AMなので、次郎はAL間を1.5 分×2=＝3分で、花子は AM間を8/3分÷2×3＝4分で進み、これらの逆比が速さの比なので、4：3である。

(3)　次郎は、1.5分×4＝6分ごと、花子は、(8/3分×3/2)×2＝8分ごとにAに もどるので、6と8の 最小公倍数の24分後に同時にAにもどる。

次郎は、斜線部に1.5~4.5分、7.5~10.5分、13.5~16.5分、19.5~22.5分の間にいる。花子は斜線部に、 8/3~16/3分、 32/3~40/3分、56/3~64/3分の間にいる。同時にいるのは、(4.5−8/3)＋(64/3−19.5)＝11/3分 すなわち、3分40秒 間いることになる。

[7]　1,1＋2,1＋2＋3,1＋2＋3＋4,1＋2＋3＋4＋5・・・・のそれぞ れの数を6で割った余りを並べると、

　　　1、3、0、4、3、・・・

という数の列になります。この数の列について、次の問いに答えなさい。

(1）22番目の数は何ですか。(　　　　　)

(2)　１番目から22番目までの数をすべてたすといくらです か。 (                  )

(3)　22個目の0は、全体の何番目の数ですか。(　　　　　　)

(4)　1番目から2010番目までの数をすべてたすといくらですか。(　　　　　)

＜解説＞

(1)　(1＋22)×22÷2＝253　253を6で割ると1あまる。　　答え　1

(2)　1,3,0,4,3,3,4,0,3,1,0,0の12個の繰り返しになっているので、24番目までの和は 22×2＝44で、 23,24番目は0だから、44である。

(3)　12個の1周期の中に0は4個ふくまれるので、4個×5＋2 個＝22 個より、12×5＋8＝68番目(2個目の0は8番目にあるので)

(4)　2010÷12＝167・・・6より、 22×167＋14＝3688　　答え　3688

[8]　次の、あ〜え　にあてはまる数を答えなさい。

　あ(　　　　)  い(　　　　) 　う(　　　　)　え(　　　　)

最短経路を選んでAからBまで行きます。Aでまず1点を得て、各交差点で図中の点数を得ながら進んで行き、最後にBで5点を得て、合 計得点を計算します。 例えば、図中の矢印のように進むと、1＋1＋2＋2＋2＋3＋3＋4＋5を計算して、合計得点は23点となります。

(1)　AからPを通ってBまで行く経路の合計点は最高で,　(　　あ　　)点となります。

(2)　合計得点が(　　あ　　)点となる経路をすべて考えると、全部で(　　い　　)通りあります。

(3)　合計得点が偶数となる経路をすべて考えると、全部で(　　う　　)通りあります。その(　　う　　)通りの経路それぞれの合 計得点の平均は(　　 え　　)点となります。

＜解説＞

(1)　1＋2＋3＋3＋3＋4＋5＋5＋5＝31　　答え　 あ＝31

(2)　横方向はどの経路を通っても、1＋2＋3＋4＋5＝15点なので、たて方向の和が、31−15＝16点になる組み合わせを考 えればよい。

1→5の方向の辞書式配列で、1＋5＋5＋5、2＋4＋5＋5、3＋3＋5＋5、3＋4＋4＋5、4＋4＋4＋4、の5通りある。