[数学ーメネラウスの定理]

 次の図で、z/x・r/p・n/l・a/c= 1となることをメネラウスの定理を用いて示せ。ただし、AR=a、RB=b、AB=c、CP=x、BC=y、BP=z、AQ=p、CQ=q、AC=r、 PQ=n、RQ=m、PR=l とする。

(洛星中学)

    

  

  

  




解説


△ABCにメネラウスの定理を用いて、a/b・z/x・q/p=1が成立する。
また△ARQにおいて同様にして、b/c・r/q・n/l=1が成立する。
よって、左辺どうしをかけあわせて、a/b・z/x・q/p・b/c・r/q・n/l=1となる。
約分してならべかえると、a/c・r/p・z/x・n/l=1






考察

メネラウスの定理は、一般には、内分×外分×内分=1ですが、この問題のように、外分×外分×外分=1でも使われます。(外分点は奇数個)
チェバの定理は、内分×内分×内分=1、外分×内分×外分=1としても使われます。( 外分点は偶数個)

メ ネラウスの定理は「三角形の頂点を通らない直線が、三角形の三辺またはその 延長上で交わる点」を内分点または外分点として成り立つ定理です。
紀元100年頃に発見された定理だそうです。チェバの定理とともに中学受験でもよく出題されます。



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