中学受験算数・角

次の図で、三角形ABCは二等辺三角形です。角xの大きさを求めなさい。

　　

解説

　

図のように補助線PS、BS、QRをひ く。

角QCRが20°なので、角BRCは 50 °となり、三角形CBRは二等辺三角形となる。ところで三角形CBQは正三角形なので辺CB＝辺CQ、よってCB＝CR＝CQとなり、三角形CQRも二等 辺三角形となることがわかる。

三角形CQRの内角の和より、角 CQR＝(180−20)÷2＝80°よって、平角BQSより角SQR＝180−(60＋80)＝40°となる。

ここで三角形PQRと三角形PSRの合 同について考える。三角形PQSは正三角形だからPQ＝PS、PRは共通、三角形RQSは二等辺三角形となっているのでQR＝SR、 すなわち三辺が等しいので三角形PQRと三角形PSRは合同である。よって、角QPR＝角SPとなり、三角形PQSが正三角形である ことから、X＝60÷２＝30°となる。

答え　30°

　　　　　　

　　　　

　　　　　

　　　　

　　　

　　　　　

　　　　

考察

やたら図が大きいですが、大きい図を書 かないと思い付きません。できるだけ正確な図をかくと補助線QRをひくことを思い付きます。他の補助線はなんとか思い付いてもQRと いう不自然な線をひくのが難しいですね。基本はやはり二等辺三角形の発見でしょう。私も知らないくらい大昔の東大の入試問題ですが、 一応中学受験の算数でもこのように解けます。

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