[中学受験算数・角]

次の図で、三角形ABCは二等辺三角形です。角xの大きさを求めなさい。

  

解説

 

図のように補助線PS、BS、QRをひく。

角QCRが20°なので、角BRCは50 °となり、三角形CBRは二等辺三角形となる。ところで三角形CBQは正三角形なので辺CB=辺CQ、よってCB=CR=CQとなり、三角形CQRも二等辺三角形となることがわかる。

三角形CQRの内角の和より、角CQR=(180−20)÷2=80°よって、平角BQSより角SQR=180−(60+80)=40°となる。

ここで三角形PQRと三角形PSRの合同について考える。三角形PQSは正三角形だからPQ=PS、PRは共通、三角形RQSは二等辺三角形となっているのでQR=SR、すなわち三辺が等しいので三角形PQRと三角形PSRは合同である。よって、角QPR=角SPとなり、三角形PQSが正三角形であることから、X=60÷2=30°となる。

答え 30°

      

    

     

    

   

     

    

考察

やたら図が大きいですが、大きい図を書かないと思い付きません。できるだけ正確な図をかくと補助線QRをひくことを思い付きます。他の補助線はなんとか思い付いてもQRという不自然な線をひくのが難しいですね。基本はやはり二等辺三角形の発見でしょう。私も知らないくらい大昔の東大の入試問題ですが、一応中学受験の算数でもこのように解けます。

中学受験・算数・プロ家庭教師のページへ