[中学受験算数ージャンケン]
太郎君と次郎君が階段の同じ段にいます。１回のジャンケンで勝てば３段上がり、負ければ２段下がり、引き分ければ1段下がるというゲームをします。ジャンケンを続けて２人の差がはじめて15段になったとき、ゲームを終わります。10回でゲームが終わりました。もとの位置よりも次郎君は10段以上、上にいました。また次郎君はゲーム中１度も太郎君より下の段になることはありませんでした。次の問いに答えなさい。
(1) 次郎君は何回勝ちましたか。
(2) このゲームでの次郎君のジャンケンの勝敗を、勝ちを○、負けを×、引き分けを△で表します。考えられる○、×、△の並び方は全部で何通りですか。
(洛南高附属中)
解説
(1) ３＋２＝５段の差が１回の勝ち負けでつく。１５段÷５段＝３回分勝ち負けの差がつけばゲームが終わるので、10回以内で次のような場合を考える。
５回勝って、2回負けるとき・・・５×３段−２×２段−３段＝８段
６回勝って、3回負けるとき・・・６×３段−３×２段−１段＝11段
「もとの位置よりも次郎君は10段以上、上にいました。」とあるので、次郎は６回勝ったことになる。
答え ６回
(2) 「次郎君はゲーム中１度も太郎君より下の段になることはありませんでした。」とあるので、次の表のようになる。引き分けでは差がつかないので残り９回分の勝敗を表にする。
| １回 | ２回 | ３回 | ４回 | ５回 | ６回 | ７回 | ８回 | ９回 | 結果 |
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途中終了 | ||||
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次郎が下 |
以上８回が問題に適するが、引き分けの１回を最初もふくめて、上の９回目の前まで９通りの入れ方ができるので、すべての場合の数は、８×９＝72通り となる。マルバツがうまく書けない人は下の別解でやりましょう。
答え 72回
(2) 別解
オオカミとヒツジを同じオリに入れるとき、オオカミの数がヒツジの数を上回ると、ヒツジは食べられてしまいます。ヒツジが食べられないように、オオカミ６ぴきとヒツジ３びきをオリに入れる仕方は何通りありますか？このような問題はたて３区間をヒツジに、横６区間をオオカミに例えて、お馴染みのパスカルの三角形で場合の数を書き込んで行きます。これをこの問題に応用すると、以下のようになります。
次郎が１回勝つと右に１区間進み、負けると上に１区間進む。太郎は一度も次郎の上にはいないので、×は通らない。次郎の勝ちがは太郎の勝ちを３回以上、上回るとゲームが終了するので×は通らない。直前の格子点を順にたしていくと、次郎の勝ち方は８通りあることがわかる。引き分けは１回目〜９回目のどこの前に入れてもいいので、８×９＝72通りある。
考察
上の表で、１回目に太郎が勝つと次郎が下になるので、赤マルが決定します。８回目と９回目はもし「× ○」とすると、７回目までに３回分勝ち負けの差がついているはずだから、やはり赤マルが決定します。
ちょうど10回目で勝負がついているので、引き分けを除いて９回目に次郎が勝つのはすぐわかりますが８回目も次郎が勝たなければいけません！８回目９回目で１勝１敗だと、すでに３回分の差がついてゲームは終了しています。
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