東大寺学園中学2014年 算数4番

右の図のように点Oを中心とする円と、その円周を12等分した点AからLまでがあります。点Pと直線ℓは赤と青の 2種類のスイッチと連動して動くものとします。

・ 最初、点Pは点Aにあり、直線ℓは直線BHと一致している。
・ 赤のスイッチを押すと、直線ℓを対称の軸として、点Pは対応する点に動く。
・ 青のスイッチを押すと、直線ℓが点Oを中心に時計回りに30°回転した後、直線ℓを対称の軸として、点Pは対応する点に動く。
たとえば、赤青青とスイッチを押すと、点PはA→C→C→Eと動きます。このとき、次の問いに答えなさい。

(1) 2回スイッチを押した後、点Pはどの点にありますか。ありえるすべての点を答えなさい。
(2) 省略
(3) 13回スイッチを押した後、点Pが点Eにあるようなスイッチの押し方は全部で何通りありますか。



解説

(1) 赤をR、青をBと表すと、RR→A、RB→C、BR→A、BB→Cという結果になる。
答え AとC


(3) (1)より、2回スイッチを押すとRRま たはBRのとき、もとの点にもどり、RBまたはBBのとき、2めもり進むことがわかる。これを1操作とすると
到着点Eから逆戻しで考えて、12回÷2回=6操作前にさかのぼると、点Pのいる場所は、E,G,I,K,A,Cのどれかになる。このう ち最初の1回スイッチを押して点Pが到達できるのは、CかEしかない。これで場合分けして、

(@) 1回目でCに到達したとき・・・あと6操 作で2めもり進めばよいので、2めもり進むことを○、もとの点にもどることを×で表すと
○×××××のようになり、○の位置で6通り、○が RBまたはBBの2通りあり、×がRRまたはBRの2通りあるので、6×(2×2×2×2×2×2)=384通りとなる。
(A) 1回目でEに到達したとき・・・あと6操作で12めもり、または0めもり進めばよいので、○○○○○○や、××××××のように なり、それぞれ、2×2×2×2×2×2=64通りである。よって、64+64=128通りとなる。

以上から、384+128=512通りとなる。                        答え 512通り

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