東大寺学園中学２０１４年 算数4番
右の図のように点Oを中心とする円と、そ
の円周を12等分した点AからLまでがあります。点Pと直線ℓは赤と青の ２種類のスイッチと連動して動くものとします。・ 最初、点Pは点Aにあり、直線ℓは直線BHと一致している。
・ 赤のスイッチを押すと、直線ℓを対称の軸として、点Pは対応する点に動く。
・ 青のスイッチを押すと、直線ℓが点Oを中心に時計回りに30°回転した後、直線ℓを対称の軸として、点Pは対応する点に動く。
たとえば、赤青青とスイッチを押すと、点PはA→C→C→Eと動きます。このとき、次の問いに答えなさい。
(1) 2回スイッチを押した後、点Pはどの点にありますか。ありえるすべての点を答えなさい。
(2) 省略
(3) 13回スイッチを押した後、点Pが点Eにあるようなスイッチの押し方は全部で何通りありますか。
解説
(1) 赤をR、青をBと表すと、RR→A、RB→C、BR→A、BB→Cという結果になる。
答え AとC
(3) (1)
より、2回スイッチを押すとRRま
たはBRのとき、もとの点にもどり、RBまたはBBのとき、2めもり進むことがわかる。これを１操作とすると
到着点Eから逆戻しで考えて、12回÷2回＝６操作前にさかのぼると、点Pのいる場所は、E,G,I,K,A,Cのどれかになる。こ
のう ち最初の１回スイッチを押して点Pが到達できるのは、CかEしかない。これで場合分けして、
(ⅰ) 1回目
でCに到達したとき・・・あと６操 作で２めもり進めばよいので、2めもり進むことを○、もとの点にもどることを×で表すと
○×××××のようになり、○の位置で６通り、○が
RBまたはBBの２通りあり、×がRRまたはBRの２通りあるので、6×(2×2×2×2×2×2)＝384通りとなる。
(ⅱ) 1回目でEに到達したとき・・・あと６操作で12めもり、または０めもり進めばよいので、○○○○○○や、××××××のよ
うに なり、それぞれ、2×2×2×2×2×2＝64通りである。よって、64＋64＝128通りとなる。
以上から、
384＋128＝512通りとなる。 答え 512通り