[浜学園、公開6番]

 りんごを大箱、小箱に詰めようと思います。大箱1箱にに15個ずつ、小箱1箱に12個ずつ詰めると150個余 り、大箱1箱に 20個ずつ、小箱1箱に16個ずつ詰めると80個足りません。

(1) りんごは全部で何個ありますか。


(2) 大箱1箱には15個以上20個以下、小箱1箱には12個以上16個以下のりんごを詰めることができます。全部のりんごをぴったり詰め るためには大箱、小箱はそれぞれ何個必要ですか。ただし、大箱と小箱の合計は50箱以下でまた、同じ大きさの箱にはすべて同じ個数のりんごを 詰めるものとします。なお、りんごの大きさはすべて同じです。



解説

(1)  大箱を○箱、小箱を□箱とする。

15×○+12×□→150個余り
20×○+16×□→ 80個不足     

これより過不足の全体の差は、1箱あたりに詰める個数の差から求めると、5×○+4×□=230個の差がついたことになる。230の一の位は 0なので、□には5の倍数が入る。(○、□)のように書き上げると、

(42、5)  (38、10)  (34、15)  (30、20)  ・・・・・となるが、例えば、15×○+12×□にこれらをあては めると、15×42+12×5=690、15×38+12×10=690 のように常に同じ個 数になり、りんごの個数は、690個箱入れして150個余るので、690+150=840個 である。

答え 840個

(2)例えば、大箱42箱 、小箱5箱に詰めて150個のりんごが余ったほうで考えるとすると、これら150個を大箱に𝓧個ずつ、小箱に𝒴個ずつ振り分けるとすると、42×𝓧+5×𝒴=150 すなわち、𝓧=0個、𝒴=30個ずつ振り分けることになるが、こ のとき小箱に12+30=42個ずつ入れることになるので、「小箱に12個以上16個以下」という条件に合わない。同様にして、(○、 □)= (38、10)  (34、15) も条件に合わず、(○、□)=(30、20) のとき、150個を大箱に𝓧個ずつ、小箱に𝒴個ずつ振り分けると30×𝓧+20×𝒴=150 すなわち、𝓧=3個、𝒴=3個ずつ振り分けることになるが、この とき大箱に15+3=18個、小箱に12+3=15個振り分けることになり、「大箱1箱には15個以上20個以下、小箱1箱には12個以 上16個以下」という条件に合う。
よって、大箱30箱、小箱20箱が必要となる。
答え 大箱30箱、小箱20箱



 考察

ある決まった個数のりんごがあり、それを大箱小箱に入れ、150個余り、80個不足するようにしたのだから、大箱小箱のいろいろな箱数の 組み合わせのどの場合も、りんごの個数は同じになるはずです。
このように正攻法で1つ1つ確かめていくと大変手間のかかる問題です。適当に30箱、20箱と決めて大当たりをひいた君は偉いです。


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