[中学受験算数ー場合の数]

図1のような 積み木A、B、Cがそれぞれたくさんあります。これらをいくつかずつ使い、すき間なくくっつけて、図2のような直方体を作ります。ただ し、どの積み木も必ず1つは使うものとします。このとき次の問いに答えなさい。

場合の数

(1)  アを作るとき、A、B、Cをそれぞれいくつずつ使えばよいですか。
(Aの個数、Bの個数、Cの個数)の形で答えなさい。

(2) イを作るとき、A、B、Cをそれぞれいくつずつ使えばよいですか。考えられる場合を、すべて(Aの個数、Bの個数、Cの個数)の形で 答えなさい。

(3) Bをちょうど6個だけ使ってウを作るとき、(Aの個数、Cの個数)の組み合わせは全部で何通りありますか。

(4) ウを作るとき、(Aの個数、Bの個数、Cの個数)の組み合わせは全部で何通りありますか。

(洛南高付属中)









解説

(1) 高さは、4+5+6=15cmとなるので、(2、1、4) となる。
答え  (2、1、4)

(2)  高さは、4cm+5cm×4+6cm=30cm  または、4cm×2+5cm×2+6cm×2=30cmとなるので、(2、4、 4)、(4、2、8)となる。
答え (2、4、4)、(4、2、8)

 (3)  5cm×6=30cmより、B6個でウをたてに2等分した四角柱が1つできる。次に残り1つを作る。A2個で作った四角柱をA'、C4個で 作った四角柱をC'とする。どちらも底面積が1辺2cmの正方形の正四角柱である。
4cm×3+6cm×3=30cm または、4cm×6+6cm×1=30cm となるので、(A’、C’)=(3、3) 、(6、1) すなわち(A、C)=(6、12)、(12、4) となる。・・・@

Bを分けて積むとき、下図のように、2個と4個に分けて積み(奇数個は積めな い)、上部のすき間は20cm、10cmとなるので、A'とC’で4cm×2+6cm×2=20cm積め、 4cm×1+6cm×1=10cm が積める。このとき、(A'、C')=(3、3)すなわち、(A、B)=(6、12)となる。・・・A  よって@Aより、(6、 12)、(12、4)の2通りだけとなる。


答え 2通り

 (4)  前問より、(A、B、C)=(6、6、12)すなわち(A'、B、C')=(3、6、3)のとき、B2個と(A'1個+C'1個)はいれ かえられるので、(A'、B、C')=(4、4、4) (5、2、5) (2、8、2) (1、10、1) 。
また、A'3個とC'2個もいれかえられるので、(A'、B、C')=(6、6、1)ができ、(A'、B、C')=(4、4、4) から (1、4、6) (7、4、2)ができ、(A'、B、C')=(5、2、5) から(8、2、3) (11、2、1)  (2、2、7)   ができる。
次に、(A、B、C)=(12、6、4)すなわち(A'、B、C')=(6、6、1)の とき、B2個と(A'1個+C'1個)はいれかえられるので、(A'、B、C')=(7、4、2) (8、2、3) (これらは既出)。
また、A'3個とC'2個がいれかえられるので、(A'、B、C')=(3、6、3)(これも既出)。以上から全部で11通りある。      答え 11通り


 考察

(3)で、Aの(A、B)=(6、12)の場合は「数字のいれかえ」という意味では、@の(A、B)=(6、12)と同じ結果になるの で、(4)の問いで実際に図形的にあり得るかどうかを確かめる必要はなく、@の場合の数だけでよいことになります。個数の場合の数を聞い ているのであって、積み上げ方の場合の数を聞いているのではないからです。



中学受験・算 数・プロ家庭 教師のページへ