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5番、6番、7番追加しました。

2021年度 灘中学1日目
[1]   


 解説:221×43/(13×17)=43
2021/221÷1/43=47/221
(18/17−47/221)×13=(234−47)/17=187/17=11
答え11
[2] 3つの容器A,B,Cにあわせて600mLの水が入っています。容器Bの水の 体積は容器Aの水の体積の1.5倍です。
容器Aから容器Bに水を40mL移すと、容器Bの水の体積は容器Cの水の体積の1.4倍になりました。水を移した後 の容器Bの水の体積は mLです。

解説:A=A B=B C= 5︎⃣ 計600mL  とする。
Aから40mLをBに移すと、Bの水は 5︎⃣×1.4= 7︎⃣になった。
すなわち、B+40= 7︎⃣、D+ 5︎⃣=600 が成り立つ。
これより、1︎⃣=40、7︎⃣=280となる。
答え 280

[3] 2021の各位の数の和は 2+0+2+1=5です。このように各位の数の和が5である4桁の整数は、2021を含めて全部で個あります。そしてそれらの整数の中で2021は小さい方か ら数えて番目です。

解説:4桁の整数とあるので、千の位で場合分けする。
例をあげながら計算をすると
・千の位=1のとき、|
→1031
  2本の | と4個の◯の順列なので、6!÷(4!×2!)=15個
・千の位=2のとき、
→2111
  2本の | と3個の◯の順列なので、5!÷(3!×2!)=10個
・千の位=3のとき、
||→3200
 
  2本の | と2個の◯の順列なので、4!÷(2!×2!)=6個 
・千の位=4のとき、||→4100
   2本の | と1個の◯の順列なので、3個
・千の位=5のと き、5000の1個だけ
以上から、15+10+6+3+1=35個
答え  35個

[4] 右の図のような正方形ABCDの辺上を3点P,Q,Rが動きます。点Pは点Bを出発し図の 矢印の向きに、

点Qは点Aを出発し図の矢印の向きに、点R は点Cを出発し図の矢印と反対の向きに動きます。
点Qの動く速さは点Pの動く速さの3倍です。3つの点が 同時に出発し、点Pと点Rが初めて出会うのにかかった時 間は、点Qと点Rが初めて出会うのにかかった時間の2倍 でした。点Rの動く速さは点Pの動く速さの倍 です。

 

解説:P+RとQ+Rの出会うまでの道のりの比は3:2で、かかる時間の比は2:1なので、それぞ れの速さの比は3/2:2/1=3:4となる。
Pの速さを@、Qの速さをBとおくと、@+R=3、B+R=4  これより、@=0.5   0.5+R=3より、R=2.5
P=3−2.5=0.5  よって、2.5÷0.5=5倍
答え  5倍
[5] Aは2桁の整数で,A×Aを15で割ると1余ります。このようなAは全部で個あります。



解説:A×Aは15で割ると1余るので、一の位は1か6。
書き上げてみると、
112,142,162,192,212,242,262,292,312,342,362,392
412,442,462,492,512,542,562,592,612,642,662,692
712,742,762,792,812,842,862,892,912,942,962,992
また、3で割っても5で割っても1余るので、この中で3の倍数の二乗になっているものは省く(赤 字)。
よって、36−12=24個
答え 24個

[6]
2以上の整数Aに対して、Aの約数をすべてかけ合わせてできる数を[A]と書きます。
例えば、[6]=1×2×3×6=36です。
B=6のとき   です。
また、2021年灘1日目6番
となる2以上の整数Cは   です。




解説:[2×6]/[6]= (1×2×3×4×6×12)/(1×2×3×4)=48・・・@

 C=2X×3Y、C=2X+1×3Yの とき、約数の一覧表は次のようになる。


1
2
22
・・
X
2X+1
1
1
2
22

2X+1
3
3×1
3×2
3×22 ・・
3×2X 3×2X+1
32





32×2X+1
・・






3Y
3Y 3Y×2 3Y×22 ・・
3Y×2X 3Y×2X+1

ブルーの部分の積が、192=26×3 であるので(それ以外は分母分子で共通のなので約分されて消える)、
X=1のとき、22×(3×22)×(
32×22) のように192にはなれない。
X=2のとき、23×(3×
23)=192  となり、このときY=1である。
すなわち、C=22×31=12 である。・・・A
答え   @48  A12

 
[7] Xは3桁の整数で、どの2つの位の数も異なります。Xを7倍すると4桁の整数ABCDを作ることができ、
A>B、B>C、C>D、D>0 となりました。
このとき、Xはです。

解説: PQR×7=ABCDより、R=1のとき、条件を満たすABCが決まらない。
R=2のときも同様。
R=3のとき、PQ3
×7=ABCDより、P=9とすると、9Q3×7より、 Q=0となり、903×7=6321 で条件に合う。
答え 903












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