メネラウスの定理　チェバの定理

応用公式9

いずれの図でも、ア／イ×ウ／エ×オ／カ＝１　です。(／は分数の意味です)

(問い)　次の図のような、三角形ABCでAD,BE,CFが点Gを通っています。またBDとDCの長さの比は

２：１、AEとECの長さの比は、２：３です。

このとき、次の問いに答えなさい。(慶応義塾)

(1)　AGとGDの長さの比を最も簡単な整数の比で表しなさい。

(2)　三角形ABCの面積が30平方センチのとき、三角形AFCの面積をもとめなさい。

解答 　(1)　三角形ACDにメネラウスの定理を使って、２／３×３／２×DG/GA＝１よりDG/GA＝１よって、AG：GD＝１：１

(2)　三角形ABCにチェバの定理を使って、AF／FB×２／１×３／２＝１より、

AF／FB＝１／３　すなわち　AF：FB＝１：３　

よって、三角形AFC＝３０平方センチ÷４×１＝7.5平方センチ

考察　　三角形GDCの面積を1とおいて、面積比で解決できますが、自動処理ではこんな感じです。メネラウスの定理ではまず適用する三角形を決めます。三角形の３頂点のどれかから、どちらかに1周すると覚えておきましょう。