[浜学園、公開6番]
りんごを大箱、小箱に詰めようと思いま
す。大箱１箱にに15個ずつ、小箱１箱に12個ずつ詰めると150個余
り、大箱１箱に 20個ずつ、小箱１箱に16個ずつ詰めると80個足りません。(1) りんごは全部で何個ありますか。
(2) 大箱１箱には15個以上20個以下、小箱１箱には12個以上16個以下のりんごを詰めることができます。全部のりんごをぴったり 詰め るためには大箱、小箱はそれぞれ何個必要ですか。ただし、大箱と小箱の合計は50箱以下でまた、同じ大きさの箱にはすべて同じ個数のりんごを 詰めるものとします。なお、りんごの大きさはすべて同じです。
解説(1) 大箱を○箱、小箱を□箱とする。
15×○＋12×□→150個余り
20×○＋16×□→ 80個不足
これより過不足の全体の差は、１箱あたりに詰める個数の差から求めると、5×○＋４×□＝230個の差がついたことになる。230の一の 位は 0なので、□には５の倍数が入る。(○、□)のように書き上げると、
(42、5) (38、10) (34、15) (30、20) ・・・・・となるが、例えば、15×○＋12×□にこれらをあ ては めると、15×42＋12×5＝690、15×38＋12×10＝690 のように常 に同じ個 数になり、りんごの個数は、690個箱入れして150個余るので、690＋150＝840個 である。
答え 840個
(2)例えば、大箱42箱 、小箱5箱に詰めて150個のりんごが余ったほうで考えるとすると、これら150個を大箱に𝓧個ずつ、小箱に𝒴個ずつ振り分けるとすると、 42×𝓧＋5×𝒴＝150 すなわち、𝓧＝0個、𝒴＝30個ずつ振り分けることになる が、こ のとき小箱に12＋30＝42個ずつ入れることになるので、「小箱に12個以上16個以下」という条件に合わない。同様にして、(○、 □)＝ (38、10) (34、15) も条件に合わず、(○、□)＝(30、20) のとき、150個を大箱に𝓧個ずつ、小箱に𝒴個ずつ振り分けると30×𝓧＋20×𝒴＝150 すなわち、𝓧＝3個、𝒴＝3個ずつ振り分けることになるが、 この とき大箱に15＋3＝18個、小箱に12＋3＝15個振り分けることになり、「大箱１箱には15個以上20個以下、小箱１箱には12個以 上16個以下」という条件に合う。
よって、大箱30箱、小箱20箱が必要となる。
答え 大箱30箱、小箱20箱
考察ある決まった個数のりんごがあり、それを大箱小箱に入れ、150個余り、80個不足するようにしたのだから、大箱小箱のいろいろな箱 数の 組み合わせのどの場合も、りんごの個数は同じになるはずです。
このように正攻法で１つ１つ確かめていくと大変手間のかかる問題です。適当に30箱、20箱と決めて大当たりをひいた君は偉いです。