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2024年灘中学1日目 の問題   解 説→クリックして下さい





  
太郎くんは1本の値段が  円のペンを5本買う予定でしたが、 所持金が120円足りませんでした。代わりに、1本の値段が予定していたものより100円 安いペンを7本と60円の消しゴムを1個買ったところ、ちょうど所持金を使い切りました。


 
ある学校の生徒に、A,B,Cの3つの町に行ったことがあるかどうかの調査をしたとこ ろ、A,B,Cに行ったことのある生徒の割合はそれぞれ全体のでした。
AとBの両方に行ったことがある生徒の割合は、全体のでした。
またCに行ったことがある生徒は全員、AにもBにも行ったことがありませんでした。
A,B,Cのどの町にも行ったことがない生徒は999人以下でした。
A,B,Cのどの町にも行ったことがない生徒の人数として考えられるもののうち最も多 いものは 人です。


 
A町とB町を結ぶ道があります。 この道を何台ものバスがA町からB町に向かう方向に一定の速さで、一定の間隔で走っていま す。
太郎君が同じ道を、A町からB町に向かう方向に一定の速さで自転車で走ると、バスに20分 ごとに追い越されました。太郎君がそのままの速さで走る方向のみを反対に変えると、バスに 10分ごとに出合いました。その後、太郎君が速さを時速6km上げたところ、バスに9分ご とに出合いました。
バスとその次のバスの間隔は kmです。
ただし、バスと自転車の長さは考えないものとします。



 

4枚のカード があるとき、この4枚のカードを並べてできる4桁の数のうち 11で割り切れるものは全部で 個あります。ただし、0224は4桁の数ではありません。
また、5枚のカード があるとき、このうちの
4枚のカードを並べてできる4桁の数のうち11で割り切れ るものは全部で 個あります。ただし、のカードを上下逆にしてとして用いることはできません。


 
1,2,3,4,5,6,7,8 から異なる4つを選び、大きい方から順にA,B,C,Dとしました。
また、選ばなかった残りの4つを並び替え、E,F,G,Hとしました。すると、4桁の数 ABCDから4桁の数DCBAを引いた差は4桁の数EFGHでした。4桁の数ABCDは です。


 

図のような、電池1個、電球1 個、スイッチ7個を含む電気回路があります。スイッチのオン・オフの仕方は全部で128通 りあり、そのうち電球が点灯するようなスイッチのオン・オフの仕方は全部で 通りあります。



 

図のように、三角形ABC,DEFがあり、点A,Dはそれぞれ辺EF,BC上にありま す。
また、辺AB,DEは点Gで交わり、辺AC,DFは点Hで交わります。
辺AB,DEの長さは等しく、辺AC,DFの長さは等しく、辺AE,EFの長さは等し く、辺CDの長さは辺BDの長さの3倍です。また、辺BC,EFは平行です。
四角形AGDHの面積は三角形AHFの面積の  倍です。
2024年灘1日目8番


 
1辺の長さが8cmである2つの正方形ABCD,PQRSがあります。
図1には、点Bを中心とし点Dを通る半円と、点Cを中心として点Aを通る半円がかかれ ています。
図2のように、正方形PQRSが@の位置からAの位置まで直線アの上をすべることなく 転がるときに、辺PQが通過する部分の面積と、図2の斜線部分の面積の和は ㎠です。
2024年灘1日目9番


  

図の五角形 ABCDEは正五角形で、四角形CDFG、ADHIはどちらも正方形です。このとき、 角㋐の大きさは  度です。

2024年灘1日目10番


 

図の直方体 ABCD-EFGHについて、辺AD,AE,EFの長さはそれぞれ 1cm,2cm,1cmです。また点Iは辺CDの真ん中の点です。3点A,F,Iを通 る平面でこの直方体を切り分けたとき、点Cを含む方の立体の体積は、他方の立体の体積 の  倍です。





 

ある立体の展開図は図のようになっています。この立体の体積は  ㎤です。ただし、同じ記号が書 かれた辺の長さは等しいとします。




2024年灘中学1日目 の問題と解説

 

10以上の整数に対 して、各位の数をかけ合わせる操作1回を記号→により表します。この操作を繰り返し、 10より小さくなると終了します。
たとえば、2×1×0=0ですから、210から始めると210→0となります。
また、4×8=32 、3×2=6ですから、48から始めると48→32→6となります。
(1) 2桁の整数AでA→0となるものは全部で  個あり、3桁の整数BでB→0 となるものは全部で  個あります。

(2) 3桁の整数CでC→D→2となるものを考えます。ただしDは整数です。

(ア) このような整数Cのうち、最も小さいものは  で、最も大きいものは  です。

(イ) このような整数Cは全部で何個ありますか。



製品Pは、1日につき、工場Aで2000個、工場Bで3000個生産されます。工場A で生産された製品Pから1000個取り出して検証すると7個不良品が見つかります。
また、工場Bで生産された製品Pから1000個取 り出して検証すると12個不良品が見つかります。工場 Aと工場Bで生産された製品Pはすべて検査場に入荷され、検査の前によく混ぜられま す。
例えば工場Aで生産された製品Pが3000個あったとき、その中の不良品の個数は と推測されます。実際には21個より多いことも少ないこ ともあり得ますが、このように推測します。この例にならって次の問いに答えなさい。

(1) ある期間、工場A、工場Bはどちらも休まずに稼働しました。その期間に検査場 に入荷された製品Pから不良品が1000個見つかったとき、その1000個の不良品の うち工場Aで生産された不良品の個数は  個と推測されます。

(2) ある年の4月、工場Aは休まず稼働しましたが、工場Bは何日か休業となりまし た。その1ヶ月に検査場に入荷された製品Pから10000個取り出して検査したとこ ろ、不良品が80個見つかりました。その80個の不良品のうち工場Aで生産された不良 品の個数は何個と推測されますか。



(1) 右の図の正方形ABCDにおいて、三角形AEFの面積は  ㎠です。
また、4つの面がそれぞれ三角形ABE,ECF,FDA,AEFと合同な三角すいの体 積は  ㎤です。
2024年灘2日目3番

(2) 右の図のような、1辺の長さが20cmの立方体GHIJ-KLMNがありま す。点PはGPの長さが10cmとなる辺GJ上の点、点QはGQの長さが15cmとな る辺GH上の点、点RはKRの長さが3cmとなる辺KL上の点です。


(ア) 3点P,Q,Rを通る平面と辺KNが交わる点をSとします。このとき、KSの長さは  cmです。
また、3点P,Q,Rを通る平面で立方体GHIJ-KLMNを2つの立体に切り分けた とき、Gを含む方の立体の体積は  ㎤です。

(イ) 4点G,P,Q,Rを頂点とする三角すいの、三角形PQRを底面と見たときの高さを求めなさい。




(ウ) 4点 M,P,Q,Rを頂点とする三角すいの、三角形PQRを底面と見たときの高さ を求めなさい。






(1) 右の図のような長方形ABCDがあり、辺BC上に点E,辺CD上に点 Fがあります。三角形AEFが直角二等辺三角形であるとき、三角形AEFの面 積は  ㎠で す。








(2) 1辺の長さが12cmである正方形GHIJがあります。右の図のよう に、辺HIの延長上に点Kがあり、GKとIJが点Lで交わっています。また、 半径が3cmである半円が三角形GJLにぴったり収まっています。このとき、 三角形GHKにぴったり収まる円の半径は  cmで す。また、辺HKの長さは  cmで す。



































 



























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2020年灘中学算数2日目の5番の解 説

今 年の灘中学の問題は基本的な内容が多く出題されました。
基本的とは言ってもミスをしやすい出題で正確に時間内に解くのはいつものように大変です。
算数の出来不出来が結果に直結し、算数の得意な生徒に有利な年になりました。
切断面の問題では交線が重要ですが、交線を見つけるには交点を見つけて結べばよいですね。
基本通りにやればそれほど想像力はいりません。
[5] (1) 
2020年灘2日目5番
対称面PSURQTで立方体を二等分しているのでCを含む立体から三角すいP-BTC、P−TQC、 C−GQR、S-CDU、S-CURを引 けばよい。
63/2−(32/2×6×1/3)×3個−(36×3 /8×3×1/3)×2個=54㎤
答え54
(2) 

2つの切断面の交点としてP,Q,RそしてVが見つかる。
求める立体は、三角すいV-PQRである。ちょうちょ相似BCVQGの相似比2:1より、三角すい C-PQRとの体積比は、 1−2/3×1/1×1/1=1/3であるので、54㎤/2×1/3=9㎤
答え 9
(3)

上図左の赤い部分が求める切り口となる。上図右より切り口の台形の上底をAとすると、 下底はBとなり、四角形BFHDの 面積と比べると、1/2×(A+B)/(E+E)=5/24倍となる。
答え  5/24



また、分けられた2つの立体のうち点Qを含まない方の立体と四角すいC- PQRSの体積比は、両方ともPS方向 を高さ方向と見た断頭三角柱と見ることができるので、底面積の比=1/3×1/2:1=1:6 、高さ平均の比=(3+2+3):(3+0+3)=4:3となるので、体積比 は1/6×4/3=2/9、点Qを 含む方の立体と全体との体積比は1−2/9=7/9となる。
よって、54㎤×7/9=42㎤ である。

答 え 42





2019年灘中学算数1 日目の図形問題の解説

[11]  大直角二等辺と中直角二等辺と小直角二等辺三角形が3枚ずつあるので、それぞれ大三角すい、中三角すい、小三角 すいを1個ずつ作る。
実際には下図のグレーの穴の形に中三角すいがへこみ、赤い小三角すいの形に手前に突き出している。
つまり大三角すい中三角すい+小 三角すい2個分を求める。
相似比4:2:1より体積比は64:8:1となる。1にあたる体積が 1×1×1/2×1/3=1/6㎤なので、 64−8+1×2=58にあたる体積は、1/6×58=29/3㎤である。


 

答 え 29/3㎤

[12]     

灘中学2019年12番
        

右図の三角形PCDにメネラウスの定理を使って、□/□×2 /1×1/2=1 となること から□/□=1/1とわかる。

よっ て左図の赤いピラミッドの相似比2:3、1:2 となることがわかる。
六角すいの体積を6とすると、青い底面積の三角すいが切断されてできたPをふくむ上部の三 角すいの体積は、2/3×2/3×1/2=2/9であり、 
緑の底面積の三 角すいが切断されてできたPをふくむ上部 の三角すいの体積は 、 2/3×1/2× 1/2=1/6であり、赤い底面積の三 角すいが切断されてできたPをふくむ上部 の三角すいの体積は、1/1×1/1×2/3=2/3であり、黄 色い底面積の三角すいが切断されてできたPをふくむ上部の三角す いの体積は、1/1×2/3×2/3=4/9である。
合計すると
 、 2/9×2個+1/6+2/3+4/9×2=78/36。
 
六角すいの体積 が6  なので、78/36÷6=13/36倍となる。

答え 13/36







2016年灘中学算数2 日目1番

この年の灘の問題は平均点が最近では最低となり、難問揃いだったと言えるで しょう。
解法を思いつかない問題というのはないようですが、大変ミスをしやすい問題で限られた時間で高得点 をと るの は至難です。
最近「プロ家庭教師が選ぶこの1題」にアップした「継子立て」の問題、2日目の1番に出ました。


2016年2日目問題

次のように、すだれ算をやればいいのですが、途中で迷路に入って しまう部分があります。
64は最後の周回まで残ることに注意しましょう。



(4)では、16個の整数が残ったので、継子立ての考え方、「2 のn乗個の整数を1番目から1 つおきに 取っていった場合は、最後の整数が残る」ことを使って、16個目の1984が残ります。


28年度灘2日目 解説     

[1]   
(1) 2016=2×1008より奇数が1008個取り除かれて、偶数列が残る。
よって、1009回目は、1番目の偶数の2が取り除かれる。

答 え 2


(2) 
2016÷2=1008組の数の中で、1008個の2の倍数が残る。
2、4、6、・・・・・・・・・・2016
504組中の数の中で、504個の4の倍数が残る。
4、8、12、・・・・・・・・・・2016
252組中の数の中で、252個の8の倍数が残る。
8、16、・・・・・・・・・・・・2016

126組中の数の中で、126個の16の倍数が残る。
16、32、・・・・・・・・・・・・2016
ところで1000は1000÷16=62あまり8なので、62+1=63回目に取り除かれる。
はじめからたすと、1008+504+252+63=1827回目に取り除かれる。

答 え 1827
(3) 続きを考える。
63組中の数の中で、63個の32の倍数が残る。
32、64、・・・・・・・・・・・・2016
次は64で割って32余る数が取り除かれる。2016は64で割ると32余る数なので、
2016÷64=31あまり32より、31+1=32回目に取り除かれる。
はじめからたすと、1008+504+252+126+63+32=1985回目に取り除かれる。

答 え 1985

(4) (3)の結果、64の倍数が残る。
64、128、・・・・・・・・・・1920、1984(64×31にあたる)
あと2000−1985=15回の操作で残る16枚のカードは、128で割ると64余る数である。

答 え @ 128  A 64
(5) (4)の結果残った16枚のカードは次の通り。
64、192、・・・・・・・1984( =64+128×15)
16は2の4乗なので、継子立ての考え方よりあと15回カードを取り除くと、最後の1984が残 る。

答 え 1984



2016年灘中 学算数2日目の3番

(1) と(2)は「光の通ら ない 部分を、(3)は「光の通る部分を求めると簡単です。(3)は正面から見た図を書くのがポイントです。 断 頭三角柱の体積=底面積×高さの平均ですね。立体をちょん切るのが嫌な人にオススメです。

[3] (1) 

光の通らない部分は図のように、四 角すい台になるので、 上の 延長部分の体積は、3×3×3÷3=9㎤であり、相似比2:1の3乗比8:1より台部分は9㎤ ×(2×2×2−1)=63㎤
立方体の下半分も光が通らないので、6×6×6−63−6×6×6÷2=45㎤

答え 45

(2)


同様にして、光の通らない部分は断頭三角柱となり、 (3×6÷2)×(3+3+6)÷3=36 ㎤
216−36=180㎤

答え  180

        
          
    
       

(3) 



図より、光の通る部分を左部分の断頭三角柱と右部分の四角柱に分ける。
光源の高さ4cmと斜線部の辺3cm:立方体の辺6cmの比1:2から頂点Bから下に 4cmの 所に 影が落ちることがわかる。これより3cm×2=6cm(影の下辺)がわかる。




3cm×8/4=6cm、ピラミッド相似の底辺部分の2:1 から6cm×1/3=2cm 、2cm−1cm=1cmがわかる。
以上から、(3+1.5)÷2×6×6+ (3×4÷2)×(3+3+4)/3=81+20=101 ㎤

答え  101


2015年 灘中学算数の 2日目の1番の問題

水 平な床の上に置かれた、内側の底面積が1u、深さが50cmの直方体の形をし
た水そうに、いくらかの水が入っています。この水そうの中に、底面積が0.7u、高さ
が50cmの直方体の物体Aをその底面積を水平に保ちながらゆっくり沈めてゆきます。
物体Aの側面と水そうの側面には、どちらも下の端を0mとし、真上に向けて目盛り
がついています。ただし、水そうの底面の厚みは考えません。
(1) 物体Aの底面が水面にふれている状態から物体Aを沈めて、その底面を3cmだけ水そう の底 面に 近づけたとき、水はあふれませんでした。このとき水面は水そうの目盛りで⬜︎cm上がり、物体Aの目盛 りで⬜︎cmのところにありました。

(2) 水面が物体Aの目盛りで30cmのところにくるまで物体Aを沈めたとき、水面は水 そう の目 盛り で50cmのところまで上がりましたが、水はあふれませんでした。
(ア) 物体Aを沈める前の水面は、水そうの目盛りで何cmのところにありました。

(イ) 物体Aを水そうの底まで沈めて水をあふれさせたのち、物体Aをゆっくり引き上
げました。水面が水そうの目盛りで(ア)の答えと同じところまで下がったとき、水面は
物体Aの目盛りで何cmのとこまでありますか。

解説

(1) 水面に3cm近づけると、物体Aのめもりは3cmを 超えて水面が上昇する。
物体AとAと水 そうの間のすきまの底面積の比が、7:3なので、水面は水そうの目盛り
で3cm×7/3=7cmあがる。
このとき物体Aのめもりは、Aを下に3cm下げているので、3cm+7cm=10cmのと こ
ろに水面が 来る。
答え 7cm  10cm


(2) (ア) (1)とちがい、この場合は水面が30cmのところにあるのが分かってい るの で、 30cm×7000㎠÷10000㎠=21cm  よって50−21=29cm  


(参考) (1)と同様にして解くとすれば次のようになる。

Aを⬜︎cm下げたとき水そうの目盛りは、⬜︎×7/3cm上昇 し、このとき物体Aの目盛りは、 ⬜︎+⬜︎×7/3=⬜︎×10/3cmになる。すなわち、⬜︎×10/3=30cmなので、 ⬜︎=30×3/10=9cm  よって、9cm×7/3+はじめ=50cmであり、はじめ=50−21=29cmとなる。

答え 29

(イ) 図の水色の部分の水が、緑の部分に移動するので、3000㎠×21cm÷7000 ㎠=9cm よって29cm−9cm=20cm となる。




答え 20









 25年度灘中学算 数の2日目の問題から

  中学受験算数の最高峰、灘中学の 今年の問題から1つ紹介します。昨年は大変簡単でしたが、
今年は隔年現象で予想通り難化しました。算数の定番、立体の切断です。
よく考えればそれほど難しくはありません。

[問題]  辺の長さが1cm,2cm,3cmの直方体の形をした、中身の詰ま
ったブロック36個を右の図1のように、積み重ねて、1辺の長さが
6cmの立方体 を作 り ました。 
 (
2013年灘中学2日目5番)

       (1) この立方体を頂点A,B,Cを通る平面で切り、Dを含む側の立体
を残します。
このとき切り口にあるブロックのつなぎ目を
図2に書き込みなさい。         

(2) 図2の立体をさらに D,B,E を通る平面で切り、Cを含む
立体を残します。このとき、切り口にあるブロックのつなぎ目を図3
に書き込みなさい。







(3)  図3の立体は□個 のブロックでできています。そのうち、もとの直方体の形をしたブロックは
全部で□個 あります。

(4) 図3の立体に含まれるブロックのうち、体積が最も小さいものを考えま す。そのブロック
の体積を求めなさい。

答え     ㎤

解説

(1)  (2)  答え 下図


(3) 手前左側のブロックは、つなぎ目で区切られた部分を数えて、17個あ り、奥右側のブロックは2面
の切断によって1つもなくならないので、6×3=18個ある。
よって、17+18=35個のブロックがある。また、切断で直方体の形でなくなったブロックは、頂点C を
含む上から3段目までと、その奥にある1個だけであるので、奥右側の18個のうち4個をひいて、
18−4=14個が直方体の形をしたブ ロックである。

答え  35個、14個


(4) 
 
上図のように、青い部分の立体が体積が最も小さい。上から見ると次のようになる。底面が1辺1cmの直角二等辺 三角形、高さが1cmの三角すいなので、1×1÷2×1÷3=1/6㎤である。
答 え 1/6㎤




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