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2020年灘中学算数２日目の５番の解 説

今 年の灘中学の問題は基本的な内容が多く出題されました。
基本的とは言ってもミスをしやすい出題で正確に時間内に解くのはいつものように大変です。
算数の出来不出来が結果に直結し、算数の得意な生徒に有利な年になりました。
切断面の問題では交線が重要ですが、交線を見つけるには交点を見つけて結べばよいですね。
基本通りにやればそれほど想像力はいりません。

[5] (1)　

対称面PSURQTで立方体を二等分しているのでCを含む立体から三角すいP-BTC、P−TQC、 C−GQR、S-CDU、S-CURを引 けばよい。
6³/2−(3²/2×６×1/3)×３個−(36×3 /8×３×1/3)×２個＝54㎤

答え54

(2)　

２つの切断面の交点としてP,Q,RそしてVが見つかる。
求める立体は、三角すいV-PQRである。ちょうちょ相似BCVQGの相似比2:1より、三角すい C-PQRとの体積比は、 １−2/3×1/1×1/1＝1/3であるので、54㎤/2×1/3＝９㎤

答え　９

(3)

上図左の赤い部分が求める切り口となる。上図右より切り口の台形の上底を�Aとすると、 下底は�Bとなり、四角形BFHDの 面積と比べると、1/2×(�A＋�B)/(�E＋�E)＝5/24倍となる。

答え　 5/24

また、分けられた２つの立体のうち点Qを含まない方の立体と四角すいC- PQRSの体積比は、両方ともPS方向 を高さ方向と見た断頭三角柱と見ることができるので、底面積の比＝1/3×1/2：１＝1：6 、高さ平均の比＝(3＋2＋3)：(3＋0＋3)＝4：3となるので、体積比 は1/6×4/3＝2/9、点Qを 含む方の立体と全体との体積比は1−2/9＝7/9となる。
よって、54㎤×7/9＝42㎤　である。

答 え　42

2019年灘中学算数1 日目の図形問題の解説

[11]　 大直角二等辺と中直角二等辺と小直角二等辺三角形が３枚ずつあるので、それぞれ大三角すい、中三角すい、小三角 すいを１個ずつ作る。
実際には下図のグレーの穴の形に中三角すいがへこみ、赤い小三角すいの形に手前に突き出している。
つまり大三角すい−中三角すい＋小 三角すい２個分を求める。
相似比４：２：１より体積比は64:8:1となる。１にあたる体積が 1×１×１/２×1/3＝１/６㎤なので、 64−８＋１×2＝５８にあたる体積は、１/６×58＝29/3㎤である。


 

答 え　２９/３㎤

[12]　 　　　

　　　　　　　　

右図の三角形PCDにメネラウスの定理を使って、□/□×2 /1×1/2＝1　となること から□/□＝1/1とわかる。

よっ て左図の赤いピラミッドの相似比２：３、１：２　となることがわかる。
六角すいの体積を６とすると、青い底面積の三角すいが切断されてできたPをふくむ上部の三 角すいの体積は、2/3×2/3×1/2＝2/9であり、　緑の底面 積の三 角すいが切断されてできたPをふくむ上部 の三角すいの体積は　、 2/3×1/2×　1/2＝1/6であり、赤い底面 積の三 角すいが切断されてできたPをふくむ上部 の三角すいの体積は、1/1×1/1×2/3＝2/3であり、黄 色い底面積の三角すいが切断されてできたPをふくむ上部の三角す いの体積は、1/1×2/3×2/3＝4/9である。
合計すると　、 2/9×2個＋1/6＋2/3＋4/9×2＝78/36。
　六角すいの体積 が６　 なので、78/36÷6＝13/36倍となる。

答え　13/36

2016年灘中学算数２ 日目１番

この年の灘の問題は平均点が最近では最低となり、難問揃いだったと言えるで しょう。
解法を思いつかない問題というのはないようですが、大変ミスをしやすい問題で限られた時間で高得点 をと るの は至難です。
最近「プロ家庭教師が選ぶこの１題」にアップした「継子立て」の問題、２日目の１番に出ました。

次のように、すだれ算をやればいいのですが、途中で迷路に入って しまう部分があります。
６４は最後の周回まで残ることに注意しましょう。

(4)では、16個の整数が残ったので、継子立ての考え方、「２ のn乗個の整数を１番目から１ つおきに 取っていった場合は、最後の整数が残る」ことを使って、１６個目の1984が残ります。

2016年灘中 学算数2日目の３番

(1) と(2)は「光の通ら ない 部分を、(3)は「光の通る部分を求めると簡単です。(3)は正面から見た図を書くのがポイントです。 断 頭三角柱の体積＝底面積×高さの平均ですね。立体をちょん切るのが嫌な人にオススメです。

[3]　(1)　

光の通らない部分は図のように、四 角すい台になるので、 上の 延長部分の体積は、3×3×3÷3＝9㎤であり、相似比２：１の3乗比８：１より台部分は9㎤ ×(2×2×2−1)＝63㎤
立方体の下半分も光が通らないので、6×6×6−63−6×6×6÷2＝45㎤

答え　45

(2)


同様にして、光の通らない部分は断頭三角柱となり、 (3×6÷2)×(3＋3＋6)÷3＝36 ㎤
216−36＝180㎤

答え　 180

　　　　　　　　
　　　　　　　　　　
　　　　
　　　　　　　

(3)　

図より、光の通る部分を左部分の断頭三角柱と右部分の四角柱に分ける。
光源の高さ4cmと斜線部の辺3cm：立方体の辺6cmの比１：２から頂点Bから下に 4cmの 所に 影が落ちることがわかる。これより3cm×2＝6cm(影の下辺)がわかる。



3cm×8/4＝６cm、ピラミッド相似の底辺部分の2:1 から６cm×1/3=2cm 、2cm−1cm＝1cmがわかる。
以上から、(3＋1.5)÷2×６×6＋ (3×4÷2)×(3＋3＋4)/3＝81＋20＝101 ㎤

答 え 　101

中学受 験・算数を攻略〜プロ家庭教師

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