令和4年度灘1日目　解説　

[1] 　与式＝4/15ー28/(121×5)ー1/22　　→　　4×11²×2ー28×6ー 11×15＝968ー168ー165＝635
→  635/(121×30)＝127/726    □＝726×127/726＝127

　答え　127

　　　　
　　　　　　　　　　

[2] 　兄の仕事する速さを�@/分、弟の仕事する速さを❶/分とする。
㉚×4＋❶×40＝㉚＋�N＋❶×140  これより、�B＝❹　  　❹×15＋❶×140＝❶×200

答 え　　200分　 　　

　 　　 　　　　　

[3]　

      上図より、　3.1%＋0.3%＝3.4% で400gとなる。

答 え　3.4%  400g 　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　
　　
　　　　　　　
[4]　 1024÷17＝60あまり4   2022個÷10個＝202回あまり2回となるので、あまりの部分を17でわる。
4×202÷17＝47あまり9  すなわち、あまりの９をあと２回かけるので、9×9÷17＝4あまり13

答え　�@　４　�A13

　　 　 　　　
　　　　　　

[5]　与式＝　A×(B＋C＋D)＋B×C×D において、
�@　(A、B＋C＋D、B×C×D)＝ （奇数、奇数、奇数)のとき、A、B、C、Dすべてが奇数となるので、5⁴＝625通りあ る。
�A　(A、B＋C＋D、B×C×D)＝ （偶数、奇数、偶数)のとき、BCDのうちどれかが偶数となる場合が３通りあるので、625×3通りある。
�B(A、B＋C＋D、B×C×D)＝ （奇数、偶数、偶数)のとき、BCDがすべて偶数、BC奇数でD偶数、BD奇数でC偶数、CD奇数でB偶数の４通り あるので、625×4通りある。
�C(A、B＋C＋D、B×C×D)＝ （偶数、偶数、偶数)のとき、�Bと同様で625×4通りある。

以上より、625×12＝7500通り

答 え　７５００通り

         
       
[６] 　通分して、分子を抜き出すと、ア×３^エ×５^４ーイ ×２^ウ×５^４ー ２^ウ×３^エ＝337
すなわち、５^４×(ア×３^エーイ×２^ウ)ー２^ウ×３^エ＝337
625×□ー２^ウ×３^エ＝３３７より□＝１とすると、２^ウ×３^エ＝625ー ３３７＝288＝2⁵×3²

このとき、ウ＝5、 エ＝２となる。
ア×３^エーイ×２^ウ＝１ とおいたので、不定方程式　9×アー32×イ＝1を解けばよい。
32の方が9より大きいので、イ＝1,2,3・・・,7とすると、イ＝7のときア＝25となる。

答え　２５

　　　　
[7]　
 

図１より、4＋2＝6通り

答え　�@　6通り

　　　　図２より、Bが左右にあるので、6通り×2＝12通り
　　　　　
　　　　また、左のパターンがあるので、これも上下左右があり、　　　　　　

　　　　2×2＝4通り

　　　　12＋4＝16通り

答え　16通り

[8]　三角形 ABC＝3＋4＋5＝12㎠、三角形AEF＝12×4/9×3/8＝2㎠、三角形BDF＝12×5/9×3/7＝20/7㎠、三 角形CED＝12×5/8×4/7＝30/7㎠、よって三角形DEF＝12ー(2＋20/7＋30/7)＝20/7㎠



また三角形0AE＝4㎠×3/8＝3/2㎠、三角形OAF＝3㎠×4/9＝4/3㎠となるので、共通な底辺AOに対して高さ 比＝3/2:4/3＝9：8となる。
同様にして、図２の7：9、8：7も分かる。
よって、三角形OEF＝20/7㎠÷(�F＋�G＋�H)×�F＝5/6㎠となる。

答え　�@20/7㎠　�A5/6㎠

　



　
　
　
　

[9] 　下 図のように、APを結ぶと、三角形AQBが二等辺三角形になることから、三角形ABPも角B＝60°の特別な三角形となる。
ピラミッド相似QCDの相似比＝1.5：6=1：４　から、AP＝１×1/4＝0.25  さらに、AQ＝0.25×2＝0.5  が分かる。
DA＝2ー0.5＝1.5となるので、CD÷DA＝1÷1.5＝2/3倍である。

答え　2/3倍

　　　　　　
[10]　　下図より、正三角形よりも、0.25×2＝0.5㎠　大きい。0.5×12＝6㎠

答え　６㎠

               


青の三角形 の面積は、赤丸２つ分の面積に等しいので、斜線部分の三角形の面積は青い三角形３個分になる。
水色の三角形の面積＝１×1÷4＝0.25㎠。

中心角30°の二等辺三角形2個分ー0.25㎠＝青い三角形1個分
中心角30°の二等辺三角形2個分＝(1辺1cmの正三角形＋0.5㎠)×2

よって、青い三角形3個分＝中心角30°の二等 辺三角形6個分ー0.75㎠＝(1辺1cmの正三角形＋0.5㎠)×6ー 0.75㎠＝1辺1cm の正三角形６個分＋2.25㎠　　となる。

答え　2.25㎠

[11]　 底面の正方形の１辺を１とすると、OKARA垂直に切った断面は下図のようになり、底面積�@、�C、�Gに高さ平均をか けて断頭三角柱の体積を求める。求める立体は、断頭三角柱の差として求まる。

�C×(1＋1＋4/6)/3ー�@×(1＋1＋5/6)/3＝�@×47/18　　また、全体の断頭三角柱の体積は、 �K×(1＋1＋0) /3＝�G＝１４４㎤なので、47/18×144÷8＝47㎤

答え　47㎤

　　　　　　　　

[12]                                              
   
正方形が出てきたら対角線を引くのが定石。図１のように黒い点を頂点とする２つの三角すいが
グレーの正三角形をはさんで 見えている(三角すいの頂点のところに３つの直角が集まっている)。
図２のように、60°30°90°の三角形の辺の比２：１より、図の２：１の比が分かる（数学では正三角形の重心と外心が一 致するとなる)。

この赤線の立体はグレーの面をはさんで 対称であるので、緑の ピラミッドの相似比１：２となり、重心gのところの比２：１を左にずらしてAから下ろした垂線の長さは、２＋1＝3。すなわ ち、図の1：2：3が分かり、Gから下ろした垂線の長さは
2×2＝ 4となる。

答え　4/3

令和4年度灘2日目　解説

[1]  (1)

　[2]＝１＋2＝3、[3]＝1＋3＝4、[5]＝1＋5＝6、[7]＝1＋7＝8

答 え　2、3、5、7

(2)　x＝素数のとき、[11]＝1＋11＝12　がある。

また、xの約数の１つが２のとき、2＋10＝12 となるので、2×10＝20のとき、

となり、[x]＝12である。同様にして、xの約数の１つ が3のとき、3＋9＝12 となるので、3×9＝27でOK。
xの約数の１つが4のとき は、下図のように約数2が小さい方から2番目となるのでだめ(素 数である必要がある)。


xの約数の１つが5のときは、 5＋7＝12  となり、5×7＝35 でOK。

答え　 11、 20、27、35

(3)(1)の結果より、素数は考えない。いくつか並べてみると、　[51]＝3＋17＝20、[52]＝2＋26＝28、 [54]＝2＋27＝２９、[55]＝5＋11＝16・・・のようになり、xの約数の１つが２のときは相手の数が26、27、28と大きくな るので あり得ない。
xの約数の１つが3のとき は、3×17＝51すなわち3＋17＝20が最小となる。
Xの約数の１つは（２）でやったように、素数になる必要があ るので、X＝5のとき、5＋11＝16が 最小となる。
さらにX＝7のとき、7＋11＝18が最小に なる。
X＝11のとき、11＋9＝20が最小、X＝13のとき、13＋7＝20で最小、X＝17のとき、 17＋5＝22で最小。
これより小さくはならないので、最も小さい数は16、2番目に小さい数は18である。

答え　16、18

[2]　(1)　下３けたが８の倍数になるので、8エ8＝808または848の2通りある。
アイウは5³＝125通りあるので、2×125＝250通り

答 え　250通り

(2)8×5＝40より、和アイウエ＝2のとき、2000で4通り、1100で6通り、
和アイウエ＝5のとき、2210で12通り、2111で4通り、和アイウエ＝８のとき、2222で１通りあるので、合計27通りある。

答え　27通り

(3)　24＝8×3より、8の倍数かつ各位の数の和が３の倍数になればよい。
�@　8エ8＝808のとき、各位の数の和 は、8×5＋0＝40であるので、
和アイウ＝2のとき、40＋2＝42となり、3の倍数になる。箱Bは0,1,2,3,4なので次のようになる。
ア,イ,ウ＝2,0,0・・・3通り　　
ア,イ,ウ＝1,1,0・・・3通り

和アイウ＝5のとき、
ア,イ,ウ＝4,1,0・・・6通り 　
ア, イ,ウ＝3,1,1・・・3通り　
ア,イ, ウ＝3,2,0・・・6通り　
ア,イ,ウ＝2,2,1・・・3通り　
 
和アイウ＝8のとき、
ア,イ, ウ＝4,4,0・・・3通り　
ア, イ, ウ＝4,3,1・・・6通り　
ア,イ, ウ＝4,2,2・・・3通り　
ア,イ, ウ＝3,3,2・・・3通り

和アイウ＝11のとき、
ア, イ,ウ＝4,4,3・・・3通り　

合計42通りある。

�A　8エ8＝848のとき、各位の 数の和 は、8×5＋4＝44であ るので、
和アイウ＝1のとき、44＋1＝45となり、3の倍数になる。
ア, イ,ウ＝1,0,0・・・3通り

和アイウ＝4のとき、
ア,イ, ウ＝4,0,0・・・3通り　
ア,イ, ウ＝3,1,0・・・6通り　
ア,イ, ウ＝2,2,0・・・3通り　
ア,イ, ウ＝2,1,1・・・3通り　

和アイ ウ＝7のとき、
ア,イ, ウ＝4,3,0・・・6通り　
ア,イ, ウ＝4,2,1・・・6通り　
ア,イ, ウ＝3,3,1・・・3通り　
ア,イ, ウ＝3,2,2・・・3通り　

和アイウ＝10のとき、
ア,イ, ウ＝4,4,2・・・3通り　
ア,イ, ウ＝4,3,3・・・3通り　

合計42通りある。

�@、�Aより、42＋42＝84通り

答え　84 通り

[3]　(1)　360°÷(6ー0.5)°/分＝720/11分、 720/11÷60＝12/11時間後

360°÷ (6＋0.5)°/分＝720 /13分、720 /13÷60＝12/13時間 後、12/13＋　12 /11＝288/143時間後

答 え　　12/11時間後、 288/143時間後

(2)　(�@)　短針は時間ごとに12の目盛りに来るので、12と 288/143のLCM＝288より、288時間後

(�A)また、12/11時間後から288/143時間ごとにも短針と長針 は重なるので、



�@は13 の倍数なので、�@＝13,26,39,52,65・・・ の中で�@＝65 のとき、13＋24×65＝ 　13×11×11となり、 143で割り切れる。
元の分数の式を約分して、 12×11＝132時間後とな る。

答 え　132時間後

[4]  （１）　　反射するごとに図２の図形を対称に移動して、光を直進させると下図のようになる。
赤いピラミッド相似より、 PD＝5cm×15/25＝3cm   よって、 CP＝10−3＝7cm

答 え　７cm

(2)　  同様にして左図より、5cm×20/30=10/3cm  10ー10/3＝20 /3cm・・・1通り目

右図 より、 10cm×25/35＝50 /7cm 50/7ー5＝15/7cm・・・2通り目

 答 え　20/3cm、15/7cm

[5]　

(1)　ABからEDまで切断すると、右図で右端まで切断線が続くが、D からFの方向に立体Xの辺が傾いているので途中で止まる。左図でグレーの 面を底面積として断頭三角柱に適当に分けて、高さは１：２：１をかければ 体積比が求まる。



底面積は上図右のようになるので全体の体積は、㉔×4/3＋㉑×5/3＋㉑ ×5/3＋�Q×4/3＝
切断面の下部分の体積は、�B×5/3×2＋�E×4/3＝�Q

÷�Q＝7 倍

答 え　７倍

(2)　　立体Xの面BFDと面ECAは平行なので、PからAEに平行線 を引きBFとの交点をQとする。
六角柱の面1-6-12-7をEの方向へ延長してREと6-12の交点S が求まる。
同様に面4-5-11-10をEの方向へ延長して5-11とQEの交点T が求まる。
赤いラインを展開図上に書くと下図右の黒い線が答えになる。

答え