24年度灘1日目　解説　

[1]　 70＋2/3−(24＋3 /4)＝45＋11/12　　 45＋11/12−25＝20＋11/12　分子は11。

　答え　11

　　　　　　
[2]　Aが４周してBに追いついたとき、B は３周しているので、速さの比 はA：B＝４：３ となる。よって、A、 Bが向かい合って進む速さは、４＋３＝７で あり、この速さで池を１周するのに６分かかっている。池１周のみちのり一定で、速さと時間は逆比になるので、Aが１周す るに は、６ 分÷４×７＝10.5分かかる。

答 え　10.5分

　　　　　　
[3]　点数の組み合わせとその差は、10点 −2点＝8点差、８点−３ 点＝５点差、５点−１点＝４点差、０点ー０点＝０点差のいずれかである。A、 Bの得点差が４点となるのは、 (Aの得点、Bの得点)＝(5,1) (0,0) のとき( このときBは１＋０＝１点)、(10,2) (1,5)のとき(このときBは2＋5＝７点)である。

答え　�@１点、�A７点

　　　
[4]　
1辺１の正三角形・・・５×５＝25個(５段の三角数)
1辺２の正立正三角形・・・10個
1辺２の倒立正三角形・・・３個
1辺３の正三角形・・・６個
1辺４の正三角形・・・３個
1辺５の正三角形・・・１個　　　　以上合計48個となる。

答 え　48個

　　
　　　　　　
　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

[5]　ABABAにおいて、 (A,B)＝ (1,0) (1.3) (1,6) (1,9)からBは0,3,6,9の繰り返しで、(9,0) (9,3) (9,6) (9,9)まであるが、このうち、(3,3) (6,6) (9,9)は同じ数字なのでのぞいて、４通り×９−３＝33通り・・・�@
このうち、下２けたが４の倍数のとき、ABABAは１２の倍数になるので、下２けた BA＝32,92,04,64,36,96,08,68の８通りとなる。

答え　�@33通り、�A8通り

　
　　　

[6]　左端から順に並べると、数字は、１、３、５、17，257、・・・となるが、それぞれから１をひくと０、２、４、 16，256、・・・となること から２の累乗が規則的に並ぶことがわかる。

２を２回かける→左から３枚目
２を４回かける→４枚目
２を８回かける→５枚目
２を16回かける→６枚目
２を32回かける→７枚目
２を64回かける→8枚目
２を128回かける→９枚目
２を256回かける→10枚目

すなわち、256回まで２で割り切ることができる。

答え　256回

[7]　左端から１列目、２列目のそれぞれの積から、 14×6×20×D＝5×4×21×E　 　より４×D＝E　同様にして、２列目、 ３列目より15E＝4Fとなる。また、上端から１行目、２行目のそれぞれの積から、10A＝3B  2行目、３行目より、B＝5C がわかる。これらより、(D,E,F,A,B,C,G)＝(1,4,15,3,10,2,28)または(2,8,30,6,20,4,7)が決まる。

答え　�@ 7、�A 28

[8]　


　　　　　
相似比１：２：３より、面積比は、１：４：９となるので、図のように各部分の面積をおく。
�@＋�A×(5−１)＋�@＝�I　　ところで�@＝１㎠×1/9＝1/9㎠なので、�I＝10/9㎠
また、10㎠÷1/9㎠＝90　より、正三角形の枚数を逆算すると、(90−2)÷2＋1＝45枚である。

答え　�@ 10/9㎠、�A 45枚

[9]　

　　　　
上図の青いピラミッドの相似比は、4cm：(4−3)cm＝4：1　である。これより3cm×1/4＝3/4cmがわかる。よっ て緑 の三角形の相似比は、3cm：(4cm＋3/4cm)＝12：19となり、AB=2cm×19/12＝19/6cmである。

答え　19/6cm

　　　　 　　
　　　　
　　　　　　　　　

[10] 　

�@ 図の青い線の図形にメネラウスの定理を使って、AF/FH×1/2×5/4＝1したがって、AF/FH＝8/5 よって、1/2×8/13＝4/13倍となる。

答え　�@ 4/13倍

�A 図の赤い線の図形にメネラウスの定理を使って、AG/GH×1/2×2/7＝1 したがって、AG/GH＝7/1　すなわちAH上で図のような比を合成すればよい。8と13→104にそろえて、FG/AH＝(40−13) /104＝27/104　　
AH＝8cmなので、8cm×27/104＝27/13cm

答え　�A 27/13cm

　　　　 　　
　　　　　　　　

[11]　

�@ 右図のように、MはM1を始点として、直径2cmの円をえがくので、2×3.14＝6.28cm

答え　�@ 6.28cm

　 　　　　　
�A 図２のように緑の円がQの位置によって横に移動するので半円2個と正方形部分の面積の和を求める。1×1×3.14＋2×2＝7.14㎠

答 え �A 7.14㎠

 

　　　　　
　　　　　
　　　　
　　　
　　　
　　
　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　

[12]　 上から見た図 のマス目に個数を書込んでゆく。個数 が最大のときは、図1のように左、前から見た数字のうち小さい方の数をマス目に入れる。個数が最小の場合は少なくとも１個は見えているこ とに注意して１に書きかえてゆく。

答え　�@ 27個　�A 53個

           
      

　　　　

[13]　斜 線部の三角形 を底面とする青い断頭三角柱が正八面 体の上部にできる。この底面積を□とすると、左の正八面体は□×(10＋10＋0)÷3＝□×20/3　これの２個分で□×40/3の体 積となる。一方、右の立体は□×20/3＋□×(10＋10＋10)÷3＝□×50/3　したがって、50÷40＝5/4倍である。

答え　5/4倍

　　　　
　　　　　
　　　　
                   　
24年度灘2日目　解説

[1]　(1)　食塩水の重さ・・・A=1、 B＝0.08　　　食塩の重さ・・・A＝１、B＝0.2　なので、0.2÷0.08＝2.5倍

答え　2.5倍

(2)　　

上図より�A＝0.5％　�@＝0.25％　となる。 2.5a−a＝1.5a＝0.25× ㉗＝6.75　すなわち1.5a＝6.75なの で、a=4.5%となる。このとき食塩水Bの濃度2.5a＝2.5×4.5＝11.25％である。

答え　11.25％

[2]

(1)

　　３ 辺はそれぞれ直角をはさんで、 1：2、1：3、 2：3の直角三角形の斜辺となる。

(2)　三角すいKの体積は、AMNを底面として、(1×2÷２)×３×1/3＝１㎤　であり、三角形EMNの面積は(1)の三角形 をすっぽり長方形で囲んで、まわりの直角三角形３つの面積をひけばよいので、９−(2＋3＋6)÷２＝3.5㎠となる。体積から 高さ を逆算して、１×３÷3.5＝6/7cm

答え　6/7cm

(3) 　青い三角形を →のように移動すると、ピラミッドのとな り合った辺の比が、２：１＝(2＋３＋１)：３　となることから、緑の三角形は直角二等辺三角形であることが わかる。
よって、x＋y＝180−45＝135°　である。
  

　

答え　135°

[3]
(1)　注水用Aを�@/本、排水用Bを1/本の速さとする と、満水時の半分以下の場合は、毎時�Aで注水し毎時3×3/4 で同 時に排水したときの所要時間と、毎時�Gで注水し毎時6×3/4 で同時に排水したときの所要時間が等しくなるので、3×3 /4−�A＝6×3/4−�G 　の関係が成り立つ。よって、�E＝3×3/4 となり、6×3/4＝�K となる。すなわち、満水時 の半 分になる前は、�G−�A＝�E/時で水が減り、その後は�E−�A＝�C/時で水が減ることになる。�E：�C＝３：２の逆比２：３が所要 時間の比である。満水時の半分になってから空になるまでの時間は、120分÷(2＋3)×３＝72分となる。

答 え　72分

　　　　　　 　　　　
　　　　　　　　　
(2)　はじめ、�O−�G＝�G/時で、その後�C/時で減 るので、速さの比は２：１。よって所要時間の比は１：２となり、72分÷２×３＝108分で空になる。

答え　108分

　　　　　
       
       
       
        
      
      
      
[4]　
(1)　
�@ たて方向５個、横方向３個の正方形を切るが、切り始めの正方形は同じものが２回切られることになるので、１をひく必要がある。5＋3−１＝7個

答え　7個　

�A　同様にして、81＋64−1＝144個

答え　144個

[5] 　

(1) 8区間のうち、４区間をたてに進むとすると残り４区間は横方向と決まる。8C4=8×7×6×5÷(4×3×2×1)＝70通り

答え　70通り

　　
(2)　�@　　　　　　　　　　　　　　　　
　�A　

　 青い道を通っても良いので全部で９通りある。

実際にはパスカルの三角形の解法を使う。弟を１区間ずつ動かしながら、弟が見えないように進むと、１＋１＝２、２×１＝２、 ２＋２＝４、 ４×１＝４、４＋１＝５、５＋４＝９　すなわち、９通りある。

答え　9通り

　　　　　　
(3)　前問と同様にして、下図のように兄が弟を見ないで行く方法は、８通りある。(1)より、すべての場合の数は70通りあるの で、 70−8＝62通り　となる。

答え　62通り