22年度灘1日目　解説　

[1]　31−2009/68×□/82＝3/8　2009÷41＝49なので、約 分すると、31−49/68×□/2＝3/8
31−3/8＝245/8、245/8×136/49＝85

答え　85

[2]　0.5ヘクタール＝50アールだから0.5ト ン×5＝2.5トン＝2500kgとれる。2500÷10＝250倍より、4000円×0.12×250＝120000円が利益となる。

答え　12万円　　

[3]　はじめの兄弟の所持金の比が２：１で電車賃も２：１なので、このとき兄弟の所持金の比は２：１のままである。兄弟の所持金の 差を考える。兄が300円多く払い、弟が100円多く払ったのでこのことで兄弟の差は300−100＝200円の差がつく。ところで最後に兄 弟の所持金の比は�D：�@になりその差�C＝100×２＝200円である。すなわち、はじめの兄 弟の所持金の差は200円＋200円＝400円であり、2−1＝1＝400円とわかる。弟に着目すると、�@＝200円÷�C＝50円、400円−入館料−100円＝50円　よ り、弟の入館料＝400−100−50＝250円である。

[4]　１束３本ずつ減らすとあるので、１束の本数は４本以上である。順に調べて行く。１束10本のとき、3600÷10＝360束 　３本ずつ減らすと、360×3＝1080本余り束は1080÷10＝108束増える。同様にして調べると次の表のようになる。

本/束	10	・・	12	・・	15
全体の束数	360		300		240
増えた束数	108		75		60

3600÷15＝240束　　240×3＝720本　　720÷12＝60束増えるので、15本ずつの束に分けたことがわかる。

答え　15本

[5]　５けたの整数BCDEFを�@とおく。このとき整数 ABCDEFはA×10万＋�@と表せる。整 数BCDEFAは�I＋Aと表せるので、(A×10万＋�@)×３＝�I＋Aとなる。簡単にすると、�F＝(30万−１)×A=299999×A となり、�@＝42857×A すなわち、A＝1か2しかない(3以上だと�@は６けたの整数になってしまう)。よって、大きい方は42857×2＝85714より 285714である。

答え　285714

285714と999999は順に9,3,13,407で約分すると、7分の ２となる。814÷２＝407となるので、ためしに2849を407で割ると、割り切れる。

答え　2/7

   
    
        
    

   
     
         
     

[6]　D>Aのときは、DCBAはABCDより大きくなる。 (D,A)＝(2,1)(3,1)(3,2)(4,1)(4,2)(4,3)・・・(9,8)となるので、個数は １＋２＋３＋・・・＋８＝(1＋8)×８÷２＝36個ある。B,Cはそれぞれ10通りずつあるので、36×10×10＝3600個である。
D＝Aのときは、C>Bだから同様にして、(C,B)＝(1,0)(2,0)(2,1)(3,0)(3,1)(3,2)・・・(9,8)という具合 で、個数は、１＋２＋３＋・・・＋９＝（１＋９)×９÷２＝45個ある。このときD,Aは０以外の９通りずつあるので、45×９＝405個となる。よっ て、3600＋405＝4005通りである。

答え　4005通り

　次に、DCBAがABCDと等しくなるには、左右対称に数字が並ぶので、1221、 2112、・・・9119・・・からわかるように、D,Aは０以外の９通 りあり、そのそれぞれについてC,Bは10通りずつある。
ところで各位ごとの合計を考えると、千の位と一の位は、(1＋9)×９÷２＝45であるので、千の位＋一の位＝1001であることを考え合わせると、合計 は1001×45×10＝450450　となり、百の位と十の位も、(0＋9)×10÷２＝45であるので、百の位＋十の位＝110である ことを考え合わせると、合計は110×45×9＝44550 　となり、450450＋44550＝495000である。

答え　495000

[7]　A＋B＝C＋D＋E・・・�@
A＋D>B＋C＋E・・・�A
B＋D＞A＋C＋E・・・�B
�@よりC＋E＝A＋B−Dこれを�AのC＋E のところにあてはめると、D>A＋B−DすなわちD>(A＋B)/2がわかり、同様にC＋E＝A＋ B−Dを�BのC＋Eのところにあてはめると、B＋D>A＋B−D＋AすなわちD>Aがわか る。また�A�BにおいてA,Bを入れかえても大小関係が変わら ないことからDはA,Bよりも大きいことがわかる。また�@よりCまたはEがAまたはBより大きいと条件に合わない。よって、AB,CEの入れ かえだけがあるので2×2＝４通りである。

答 え　４通り

また、A ＋E＝B＋C・・・�C
B＋E＝A＋A＋C・・・�D
�C−�Dより、A−B＝B−A−A　すなわち、A×3＝B×２よってA：B＝２：３
�C＋�Dより、２×E＝A＋２×C　すなわち、A＝２×(E−C)よってE>C
以上のことより、大きい方から順に、DBAECとなる。

答 え　D、B、A、E、C

   
     
      
      
      
     
    

[８]　13で割って小数第一位が６になる数は、２組の公差13の等 差数列となり、
8と9、21と22、34と35、・・・73と74、・・・ 138と139
11で割って小数第二位が3になる数は、公差11の等差数列となり、
7、18、29、・・・・・・・・・73・・・・・・・・・139
もっともちいさいものは、73であり、２番目に小さいものとの差は 139−73＝66である。

答 え　�@73　�A66

   
   
   

[9]　平行四辺形のまわりの長さから、１cmをひいた分だけ短いの で、８＋４×３＋３−１＝22cmである。　斜線部のいちばん左の三角形の面積を �Cとすると対応する辺の比1cm：1.5cm：2.5cm＝２：３：５より３つの三角形の面積の比は、�C：�H：㉕となる。平行四辺形の面積は、�C÷２× (2＋3＋5)×４×２＝160となるので、３つの三角形の面積はその(4＋９＋25)÷160＝19/80倍となる。

答 え　�@22　�A19/80

[10]　図をクリック！赤い三角形と青い三角形が合同となるので(2辺とその間 の 角がそれぞれ等しい)、辺AC=辺BDより、OD＝(8＋1)cm−５cm＝4cmであり、アの角を→のAに移動して考えると、黄色い三角形の１つの外角 がイであるので、イ＝60°＋23°＝83°

答え　4cm、83°

[11]　正方形Bの対角線の長さは、□×□÷２＝２㎠より、□＝２cmとなる。

２×２×3.14＋10×２×４＋10×10−(10−２×２) ×(10−２×２)＝156.56㎠

答え　156.56㎠

    
      
     
     

[12]　容器は正四面体を底面に平行な面で切った三角すい台にな る。辺RS:辺BC＝４cm：３cmが相似比となるので、体積比は、４×４×４：３×３×３＝64：27　　64−27＝37・・・容器の体積とする。一 方１辺が１cmの正四面体の体積を、１辺が４cmのこの正四面体の体積64と比べると、64÷(4×４×４)＝1となる。37÷１＝37倍

答え　37倍

[13]　黄色い三角形の直角をはさむ辺の比が3：2であることを使う。図のような断頭四角柱になるの で、底面積に高さの平均をかけて、１㎠×(1/3＋2/3)÷２＋２㎠×(2/3＋2)÷２＝19/6㎤　である。

答え　19/6㎤

22年度灘2日目　解説　

[1]　(1)　それぞれの食塩水の重さをAg,Bg,Cgとする。すべてに�@gの食塩がふくまれているとすると、「ＡとＢの食塩水全部を混ぜると、Ｃの食塩水と同じ濃 さになる」とあるので、�A/A＋B＝�@/Cがいえ る(分母が食塩水の重さ、分子が食塩量)である。濃度が同じならば食塩量と食塩水量は比例するのでA＋B＝C×２となる。

答 え　２倍

(2)　「ＢとＣの食塩水全部を混ぜると、Ａの食塩水の２倍の濃さになる。」とあるので同様にして、�A/B＋C＝�A/Aがいえるので、A=B＋Cである。(1)よりA＋B＝C×２がいえているので消去算でBを消すと、２× A＝３×C 　よって、AはCの1.5倍である。

答 え　1.5倍

(3)　A：C＝３：２、A＋B＝C×２より、A：B：C＝３：１：２である。よって、濃さの比は食塩水量の逆比で、 1/3：1：1/2＝2：6：3となることがわかる。AとCをすべて混ぜあわせると、次のてんびん図より、濃さ2.4(比の数字)がわかる。

「Ｂの食塩水にさらに６００ｇの水を加える」とあるので、次のてんびん図より、600÷3×２＝400gがBの量、よってB：C＝１：２よ りCの量は、400g×２＝800gとわかる。

答 え　800g

   
    

[2]　

(1)　厚紙Aの６cmの辺３本の残り１辺が、立方体の対角線となるので、下図(1)の ようになる。
(2)　(1)と同じように厚紙 Aの残り１辺が立方体の対角線になるように、折り曲げられている。いずれにしても、立方体を基本として作られた立体なので、うすく立方体の見取り図を書い ておき その上に、必要と思われる線を書き加えて 行く。下図右で、灰色と青色の面がそれぞれAの厚紙２枚にあたる。

(3)　立方体から正四角すいをひいて、６×６×６−(６×６)×6÷３＝144㎤

答え　　144㎤

   
     
   
     
    
    
    
     
   
   

[3]
(1)　(ア) 2＋287＝289

答え　289

(イ)　４＋285＝289

答え　289

(2)　はじ めの数から順に7個の和、２＋４＋５＋7 ＋８＋10＋11＝47で循環する。(10＋20＋・・・ 270)×7＝26460と残り282、284、285、287もたし合わせると、47×(27＋1)＋26460＋282＋284＋285＋287＝28914

答え　 28914

(3)　[1/20]〜[16/20]までは値が 1を越えないので、すべて０・・・１種類目

[25/20]＝[36/20]＝1・・・２種類 目
あとはすべて１：１対応なので、１種類目の分子の平方数 1〜16までの重なりと２種類目の重なりを取り除いて、20個−3個−1個＝16種類である。

答え　16種類

(4)　(3)より重なりは[68×68/68] よりずっと前で現れることが予想できる。

0＝[1/68]〜[64/68]
1＝[81/68]＝[100/68]＝[121/68]
2＝[144/68]＝[169/68]＝[196/68]
3＝[225/68]＝[256/68]
4＝[289/68]＝[324/68]
5＝[361/68]＝[400/68]
6＝[441/68]
7＝[484/68]＝[529/68]
8＝[576/68]
9＝[625/68]＝[676/68]
以上より、2010個−7個−9個＝1994個

答え　1994個

    
     
     
          

[4]　
(1)　三角すいABCDは、立体Pを作っている底面が共通で高さが等しい三角すい８個でできているので、立体P=40㎠÷２＝20㎠　である。

(2)　立体Pの通過する部分は下の図１のよう に、底面が半径�@の円となり、立体Pの底面の正方形と比べると、(�@×�@×3.14)÷(�@×�@×２)＝1.57倍であり、高さは同じなので、体積も 1.57倍である。

答え　1.57倍

(3)　三角形ＥＦＩが通過する部分の底面は上の図２の ように、影をつけた部分になる。赤線×赤線＝正 方形の面積÷４だから、赤線 を半径とする円の面積をひくと、�@×�@×3.14−(�@×�@×２)÷４×3.14＝�@×�@×1.57㎠を底面とするくりぬかれた円すいが、三角形ＥＦＩが通過する部分となる。立体Pの底面積�@×�@×２と比べると、(�@×�@×２)÷(�@×�@×1.57)＝0.785倍であるので、20㎠× 0.785÷２＝7.85㎠となる。

答え　7.85㎠

    
     
      
   
    

[5]
(1)　15m×9÷9/4分＝60m/分

答え　60m/分

（２） 15m×4＝60m　60m÷60m/分＝1分後にAはP(1階)に、BはS(7階)に着いた。よって、B は15m×２＝30mを1分で進んだことになり、30m/分の速さである。
ここでAやBの横方向に進む速さを求めると、60m/分÷7.5×7.2＝57.6m/分・・・A　30m/分÷7.5×7.2＝28.8m/分・・・B 　図のように１周7.2mの円のまわりをP,Qから反対方向にA,Bを回し重なったときに、Bの真下にAがいると考えられる。7.2m÷(57.6＋ 28.8)m/分×60＝５秒ごとになる。また60秒÷５秒＝12回　12−1＝11回となる。

(3)　BがRに着くまでに４階 ×２＝８周する間にAと上図の円周上で13回出会うと考えると、Aは13−8＝5周動くことになる。Aが４階分(５階→１階)を60秒で動いているの で、５階分(10階→5階の10周)は、60秒÷４×５＝ 75秒で動く。よってBは、75秒×5/10＝37.5秒動 いているので、Aが５階に下りてくる75秒後までには、75−37.5＝37.5秒休むことになる。14回目は出会わないので14−8＝6周動くとする と、75秒×6/10＝45秒動き、75−45＝30秒よりは長くBは休むはずである。

答え　30 秒より長く、37.5秒より短い