倍数の個数　　 　　　　　　　　　　  プロ家庭教師のページへ

整数を１から順に ある整数まで並べて、下の作業１から３を順におこなう。

作業１　：　６で割ると３あまる数は、その数を５と入れ替える。

作業２　：　６で割り切れる数は、その数を２５と入れ替える。

作業３　：　すべての数をかける。

たとえば、１から１０まで並べた場合は

作業１　１　２　３　４　５　６ 　７　８　９　10

　　　　１　２　５　４　５　６ 　７　８　５　10

作業２　１　２　５　４　５　25　７　８　５　10

作業３　 １×２×５×４×５×25×７×８×５×10＝14000000

　こうしてできた数14000000は、１の位から順に０が６個あらわれたあ と７個目にはじめて０でない数４があらわれる。１から４００まで並べた場合、上の作業をおこなってできた数は、１の位から順に０が何個あ らわれたあとはじめて０でない数があらわれるか。

解説

　２と５をかけると０がひとつ増えるので、まず２がいくつふくまれるかを調べ る。

１から400までに２が

400÷２＝200個　400÷（２×２）＝100個　400÷ (2×２×２）＝50個・・・・・・400÷400＝１個　

のようになるので　作業前は、2は　 200+100+50+25+12+6+3+1=397個ふくまれる。このうち、作業後６の倍数が２の倍数でなくなるので、６の倍数につ いて調べる。

6×1から6×66までに66個の6の倍数があるが、1から66までの中にも 2が

66÷２＝33個　66÷(2×2)＝16個　66÷(2×2×2)＝8 個・・・・・・・・・・66÷64＝１個

のように　33+16+8+4+2+1=64個ふくまれるので、２が消える個 数は、６６＋６４＝１３０個　となる。よって作業後２は３９７ー１３０＝２６７個ふくまれることになる。

つぎに５がいくつふくまれるかを調べる。

上図のように、6で割って3あまる数、6の倍数、5の倍数から重なりの部分を ひいて5の倍数の個数を求める。

400÷6＝66...より　6で割って３あまる数は67個、6の倍数は66 個、400÷5＝80より　5の倍数は80個、

400÷30＝13...より　重なりの部分はいずれも13個だから、5 の倍数は67+66+80-13-13=187個になる。

次に、25の倍数の個数を求める。25の倍数から6の倍数+3との重なりの部 分をひき(作業１によって5の倍数になってしまうので)、6の倍数の部分をたして、6の倍数との重なりの部分をひけばよい。

400÷25＝16個　6×25＝150　400÷150＝2個...より、25 の倍数は　66+16-2-3=77個

125の倍数は　125と250　の2個。以上より5は　187+77+2=266個ふくまれる。2は 267個ふくまれるので0は1の位から266個あらわれたあとはじめて0でない数があらわれる。　　　答え　266個

考察
　6の倍数はすべて2の倍 数にふくまれるので、2の個数130個をすべてをひく必要がある。

5の倍数でしかも6の倍数より3大きい数は 　15、45、75・・・375より (375ー15)÷30＋1＝13個ある。