硬貨で金額をつくる

1円硬貨と5円硬貨と10円硬貨と50円硬貨がそれぞれたくさんあります。これらから必要 な枚数だけ取り出して、合計金額を10円にする方法は4通り、合計金額を50円にする方法 は通り合計金額を100円にする方 法は通りあります。

 (灘中学)




解 説

合 計金額を50円にするときは、1円硬貨を○枚、5円硬貨を△枚、10円硬貨を□枚とすると、○+5×△+10×□=50となり、 ○、△は0以上なので、50−10×□が0以上となる。よって、□=5,4,3,2,1,0となる。
=5のとき、(○、△)=(0,0)・・・1通り
□=4のとき、
○+5×△=10 同様にして、○は0以上なので10−5×△が 0以上となる。よって、△=2,1,0の3通り
□=3のとき、○+5×△=20 同様にし て、○は0以上なので20−5×△が0以上となる。よって、△=4,3,2,1,0の5通り
□=2のとき、○+5×△=30 同様にして、○は0以上 なので30−5×△が0以上となる。よって、△=6,5,4,3,2,1,0の7通り
□=1のとき、○+5×△=40 同様にして、○は0以上 なので40−5×△が0以上となる。よって、△=8,7,6,5,4,3,2,1,0の9通り
□=0のとき、○+5×△=50 同様にして、○は0以上 なので50−5×△が0以上となる。よって、△=10,9,8,7,6,5,4,3,2,1,0の11通り

また、50円硬貨を1枚の場合もあ るので、1+3+5+7+9+11+1=37通りとなる。

答え 37通り
次 に、合計金額を100円にするときは、50円硬貨を2枚のとき1通り、50円硬貨を1枚のとき、あと50円作るので前問より36通り、50円硬貨を0枚の とき前問と同様にして、○+5×△+10×□=100
□=10のとき、
(○、△)=(0,0)・・・1通り
□=9のとき、
○+5×△=10 で3通り
□=8のとき、
○+5×△=20 で5通り



□=0のとき、
○+5×△=100で21通り
連続する奇数列になるので、(1+21)×11÷2=121通り
したがって、1+36+121=158通りとなる。
答え 158通 り

考察

場合の数の問題ですが、規則性の発見がポイントとなります。


中 学 受験算数を攻略〜プロ家庭教師へ