偶数と奇数の問題

(□−１)×□×(□＋１)が 100000の倍数となるような、20000以下の偶数を□の中に入れなさい。ただし、□の中には同じ整数が入ります。 (洛星中学)

解 説

(□−１)と(□＋１)は 奇数なので、100000を素因数分解したときのすべての偶数は真ん中の□に 集中する。
100000=32×3125だから真ん中の数□は 32の倍数である。
また３数は連続する整数なので、両端の数が２数とも５の倍数であることはあり得ない。
したがって、両端の数のどちらかが3125の倍数となる。
3125×1＝3125のとき、□＝3126とすると、3126÷32は割り切 れないので不適。3125−1＝3124も同様に不適。
3125×2＝6250のとき、同様に不適。
3125×3＝9375のとき、□＝9376であり、9376÷32＝293となり割り切れる。

考察

ちなみにもとの問題では、□の中にはいる100000以下の偶数も問うていま す。
3125×29＝90625より、90625−1＝90624が答えとなります。

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