ぬりわけ
難問10 

4色以内でぬりわけます。何通りのぬりわけ方がありますか。ただし、回転はしないものとしま す。


 誤答例 (さて、どこが違うか考えてみましょう!)

いわゆるダメダメ解法でやってみます。
1の部分は何色でもよいので、4通り。2の部分は1で使った色はダメなので、それ以外の3色が使えて3通り、3の部分は2で使った色 はダメなので、それ以外の3色が使えて3通り、4の部分は3と1以外の2色がつかえるので2通り。
よって、4×3×3×2=72通り


理由はこのページの最下部にあります。


解説
 単純に積の公式ではできません。同じ色をぬる部分で場合わけをします。

1,3同色のとき  4×3×2=24通り

2.4同色のとき  24通り

1,3と2,4にそれぞれ同色をぬるとき  4×3=12通り

すべて異なる色をぬるとき    4×3×2×1=24通り 

よって、24×3+12=84通り      84通り

考察

同色をぬるときは、同色をぬる場所で場合分けをするのが定石です。


  誤答例の疑問点の回答

この問題の図では、ぬり分け問題なのにぬり分けしないでよい部分があります。
それは1と3、2と4の部分です。解説にもあるように1と3を違う色でぬり分ける場合と、同じ色を使いぬり分けない場合は明らか に異なります。
ダメダメ解法が使えるのは、となりあう部分はすべてぬり分ける必要がある場 合だけです。
たとえば次のような場合です。



この場合は、4×3×2×2=48通り となります。