[中学受験算数・数列]

1日 目にA,B,C3匹の生物がいる。1日後にAはBに、BはCに変化し、CはA,Bを1匹ずつ産みCはそのまま生き続けるとする。4日目に生物は何匹になっ ているか。また、653匹になっているのは何日目か。  (日能研)

   

解説


樹形図を書き出すとすぐにとんでもなく大きい紙が必要なことがわかります!? 653匹まで書くのは無理ですね。
そこで、希学園方式?で表解にすると次のようになります。



1日目
2日目
3日目 4日目 5日目 6日目
A
1
1
2
4
7
13
B
1
2
3
6
11
20
C
1
2
4
7
13
24

3
5
9
17
31
57

例えば2日目のBは、Aの変化した1匹とCの変 化した1匹の合計2匹で、2日目のAはCの変化した1匹のみとなります。3日目のCはBの変化した2匹とそのまま残ったCの2匹の合計で4匹となります。

7日目では、A=6日目のC=24、B=6日目 のA+6日目のC=13+24=37、C=6日目のB+6日目のC=20+24=44というふうに、慣れればすぐに書けます。合計の数列は前3つの和のト リボナッチ数列になりますので、3,5,9,17,31,57,105,193,355,653より、10日目に 653匹になることがわかります。
なぜトリボナッチ数列になるかは、下の高速増殖ツリー?を見てよく考えて下さい。

答え 10日目



樹形図はつぎのようになります。

図のように、赤い部分、 青い部分、緑の部分がそれぞれ同じ繰り返しになっている。

よって、4日目は、3+5+9=17通りとなる。

赤→青、青→緑、緑→赤+青+緑という増え方になっていることがわかる。

5日目も同様にして、青+緑+(赤+青+緑)となり、これは2日目+3日目+4日 目と同じである。

つまり前3日の和の数列になっていることがわかる。

よってトリボナッチ数列となり、 3,5,9,17,31,57,105,193,355,653。

10日目に 653匹になることがわかる。

答え 17通り、10日目

  

  

   

   

   

   

   

   

   

     

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