[中学受験算数・数列]
１日
目にA,B,C３匹の生物がいる。１日後にAはBに、BはCに変化し、CはA,Bを１匹ずつ産みCはそのまま生き続けるとする。
４日目に生物は何匹になっ
ているか。また、653匹になっているのは何日目か。 (日能研)
解説
樹形図を書き出すとすぐにとんでもなく大きい紙が必要なことがわかります！? 653匹まで書くのは無理ですね。
そこで、希学園方式？で表解にすると次のようになります。
| 1日目 |
2日目 |
3日目 | 4日目 | 5日目 | 6日目 | |
| A |
1 |
1 |
2 |
4 |
7 |
13 |
| B |
1 |
2 |
3 |
6 |
11 |
20 |
| C |
1 |
2 |
4 |
7 |
13 |
24 |
| 計 |
3 |
5 |
9 |
17 |
31 |
57 |
例えば２日目のBは、Aの変化した1匹
とCの変
化した１匹の合計２匹で、２日目のAはCの変化した１匹のみとなります。３日目のCはBの変化した２匹とそのまま残ったCの２匹の合
計で４匹となります。
７日目では、A＝６日目のC＝24、
B＝６日目
のA＋６日目のC＝13＋24＝37、C＝６日目のB＋６日目のC＝20＋24＝44というふうに、慣れればすぐに書けます。合計の
数列は前３つの和のト
リボナッチ数列になりますので、3,5,9,17,31,57,105,193,355,653より、10日目に
653匹になることがわかります。
なぜトリボナッチ数列になるかは、下の高速増殖ツリー？を見てよく考えて下さい。
樹形図はつぎのようになります。
図のように、赤い部分、 青い部分、緑の部分がそれぞれ同じ繰り返しになっている。
よって、４日目は、３＋５＋９＝17通りとなる。
赤→青、青→緑、緑→赤＋青＋緑という増え方になっていることがわかる。
５日目も同様にして、青＋緑＋(赤＋青＋緑)となり、これは２日目＋３日 目＋４日 目と同じである。
つまり前３日の和の数列になっていることがわかる。
よってトリボナッチ数列となり、
3,5,9,17,31,57,105,193,355,653。
10日目に 653匹になることがわかる。
答え 17通り、10日 目