[中学受験算数ー整数]

《A》はAの倍数のうち200以下の最大の数を表す。ただしAは100以下の整数とする。(日能研カリテ)

(1) 《A》が最小となるAを求めよ。

(2) 《A》が150以上160以下となるとき、Aは何通りあるか。

(3) 《A》がある数となるとき、Aとして考えられる数は、3通り以上ある。そのような《A》のうち最小のものを求めよ。

   

解説

(1)

200=A×P+R において、余りRは割る数Aより小さい。A×P=《A》と考える。つまり《A》=200−R が最小となるのでRが最大となればよい。AはRより大きく、100以下の整数だから、Pは2以上の整数となる。

P=2のとき、200=A×2+R  において、A=67のとき 200=67×2+66 より《A》=200−66=134 が最小となる。

答え 67

(2) 

(1)において、《A》=67×2=134 と考えられるので、《A》が150以上160以下となるとき、P=2のときには

A=75のとき、《A》=75×2=150、A=80のとき、《A》=80×2=160 となるので、Aは75,76,77,78,79,80の6通りある。また、P=3のとき、同様にして A=51のとき、《A》=51×3=153、A=53のとき、《A》=53×3=159 となるので、Aは51,52,53の3通りある。よって、6通り+3通り=9通り

答え 9通り

(3)

P=2のとき、  200÷3=66あまり2  66+1=67 よって、A=67〜100 《A》=134、136、138・・・

P=3のとき、   200÷4=50       50+1=51 よって、A=51〜100 《A》=153、156、159・・・

P=4のとき、   200÷5=40       40+1=41 よって、A=41〜100 《A》=164、168、172・・・

よって、2、3、4の最小公倍数12の倍数となる数の中で最小の数は、168

答え 168

考察

とにかく、A=100、99、98、97・・・・と書いて調べればよいのですが、できなくても全然気にしなくてよい問題です(笑)。