浜学園第1回 灘中入試練習4番

88や224のように、8の倍数の中で、各位の和も8の倍数になっているものを考えます。
(1) 次の表の空欄に数を入れて表を完成させなさい。

8の倍数
 8
16
24
32
40
48
56
64
72
80
88
96
各位の和
8
7
6
5
4
12
11
10
9
8
16
15
各位の和を8で割ったあまり
0
7
6
5
4
4
3





        
       
(2) (ア) このような整数のうち400以上500以下のものをすべてかきなさい。


(イ) このような整数のうち3桁のものは全部で何個ありますか。

(3) このような整数のうち4桁のものは全部で何個ありますか。




解説

(1)   10÷8=1・・・ 2、 9÷8=1・・・ 1、   8÷8=1・・・ 0、 16÷8=2・・・ 0、15÷8=1・・・ 7
        
       答え 2、1、0、0、7
       
   (2) (ア) このような整数のうち400以上500以下のものをすべてかきなさい。


(2) (ア) 百の位が4の整数なので、上の表で「各位の和を8で割っ たあまり」が4の整数が4+4=8となり、各位の和も8の倍数になることがわかる。
答え 440、448
   
(イ)  上の表以外に、下2桁が8で割って4余る整数でも3桁の8の倍数が作れるので同様に次のような表に表す。
       
       
8で割って4余る
 4
12
20
28
36
44
52
60
68
76
84
92
各位の和
4
3
2
10
9
8
7
6
14
13
12
11
各位の和を8で割ったあまり
4
3
2
2
1
0
7
6
6
5
4
3
 
       
     百の位が1の整数・・・上の表で、1を足せば8余るすなわち割り切れるのは 「各位 の和を8で割ったあまり」が7の数。よって求める3桁の整数は、152

    百の位が3の整数・・・上の表で、3を足せば8余るすなわち割り切れるのは 「各位の和を8で割ったあまり」が5の数。よって求める 3桁の整数は、376

百の位が5の整数・・・上の表で、5を足せば8余るすなわち割り切れるのは 「各位の和を8で割ったあまり」が3の数。よって求める3桁の整 数は、512、592となる。

百の位が7の整数・・・上の表で、7を足せば8余るすなわち割り切れるのは 「各位の和を8で割ったあまり」が1の数。よって求める3桁の整 数は、736となる。

百の位が9の整数・・・上の表で、9を足せば8余るすなわち割り切れるのは 「各位の和を8で 割ったあまり」が7の数。よって求める3桁の整数は、952と なる。
        
       百の位が2の整数・・・問題文の表で、2を足せば8余るすなわち割り切れるのは 「各位の和を8で割ったあまり」が6の数。 よって求める3桁の整数は、224となる。  

百の位が4の整数・・・問題文の表で、4を足せば8余るすなわち割り切れるのは 「各位の和を8で割ったあまり」が4の数。よって求める3桁 の整数は、440448と なる。

百の位が6の整数・・・問題文の表で、6を足せば8余るすなわち割り切れるのは 「各位の和を8で割ったあまり」が2の数。よって求める3桁 の整数は、664となる。

百の位が8の整数・・・問題文の表で、8を足せば8余るすなわち割り切れるのは 「各位の和を8で割ったあまり」が0の数。よって求める3桁 の整数は、808、880、888、800となる。800は問題文の表で8の倍 数として0が省略されている。
 答え14個
         
    (3)    (2)でわかったように、百の位が奇数の3桁の整数は下2桁が8で割って4余る整数でできている。
また、百の位が偶数の3桁の整数は下2桁が8の倍数でできている。
もちろん両方とも千の位に適した数字をあてれば各位の和も8の倍数にできる。
例えば百の位が1の整数は、104,112・・・、192 のように12個の整数があるが、百の位が3,5,7,9のときも同様なので、全部 で12個×5=60個 ある。
また、百の位が2の整数は、200,208,・・・、296 のように13個の整数があるが、百の位が0,4,6,8のときも同様なので、全 部で13個×5=65個ある。

ところで、上に赤字で書いたように、「各位の和を8で割ったあまり」が7の数は百の位に1と9の2通りの補い方がある。各位の和が7+8=15もさらに15+8=23でも2通 りあることになる。

調べてみると、160,168,304,384,520,528,744,960,968 の9個は千の位に1と9の2通りあるので、9個足す必要がある。

232,456,672,816,896,016,096の7個は千の位に1と9の2通りあるので、7個を足す必要がある。

以上から、60+65+9+7=141個
答 え 141個
       

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