[4つのベン図]

  1から100までの整数の中で、3の倍数、4の倍数、5の倍数、7の倍数の順に取り除いていくと、残っている整数は何個ありますか。





解説

 4つどもえのベン図です。4枚の楕円形の紙が重なっている中で、2枚、3枚、4枚と重なっている所が見えます。完全に含む、含ま れるところはありません。面積図的に直感的に説明すると、青+緑+赤+黒 から2枚の重なり部分をひきます。すると3枚、4枚重なっている部 分が引き過ぎになるので、3枚重なっている部分を足します。すると4枚重なっている部分が足し過ぎになるので、引きます。
倍数の個数を計算すると、33+14+25+20−(8+4+3+6+5+2)+(1+1+0+0)−0=66個
100−66=34個

答え 34個


ベン図✳ ウィキペディアより転載

 考察
3色重なっている部分が、3,4,5の公倍数、4,5,7の公倍数、5,7,3の公倍数、7,3,4の公倍数となります。
真ん中の4色重なっている部分が、3,4,5,7の公倍数ですが、0個です。 紙の差し引きがややこしいです。
参考までに、各部の枚数の移り変わりを表にすると次のようになります。

1回目
1
2
3
4
2回目
1
1
0
-2
3回目
1
1
1
2
4回目






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