[中学受験算数ー反射]

長方形の白い用紙の上に1辺の長さが2cmの正方形のコマを置き、用紙からはみ出さないように次の規則で 移動させました。
・ 移動の開始は用紙の1つの角からとし、常にコマの対角線の向きに移動させる(図1)。
・ 用紙のはしにぶつかったときには移動の向きを90°変える(図2)。
・ 移動開始の後、最初に用紙の角の1つに到達したところで移動を終了する(図3)。


この移動によってコマが通過した用紙の部分を黒く塗りました。(移動開始前および移動終了時に コマがある部分も黒く塗りました。)

(1) 用紙がたて22cm、横32cmの長方形のとき、コマは何回移動の方向を変えました か。
(2) 用紙がたて22cm、横32cmの長方形のとき、黒い部分の面積を求めなさい。

(3) 用紙がたて32cm、横44cmの長方形のとき、コマが10回移動の方向を変えた後、 移動を終了しました。このとき、黒い部分の面積を求めなさい。


  

  

  

  

  

解説

(1) 下図のように、反射する。コマの中心の移動で考えると、20cmと30cmの最小公倍数60cmを1辺とす る正方形の対角線が移動距離となる。60÷30=2 60÷20=3 (2−1)+(3−1)=3回である。
答え 3回



(2) 上図のように、反射する部分を赤い線で切って、裏返してならべると上図右のような平行四辺形ができる。ただし、緑の部分 2×2÷2=2平方センチ2カ所と、赤い部分2×1÷2=1平方センチ3カ所と、青い部分4×4÷2=8平方センチ1カ所をひく必要 がある。
4×62−(2+2+1+1+1)−4×4÷2=233
答え 233 平方センチ

(3) 上図左下のよう に、10回反射したのだから、青い部分は12カ所できている。30cmと42cmの最小公倍数は210なので、同様にして、
4×212−(1×10+2×2)−(4×4÷2)×12=738
答え 738平方センチ
    
    
   
    



考察

反射の問題は、次々に線 対称に長方形を展開して、物体なり光なりを直進させて考えます。大きさのある物体の場合は重心の移動で処理しましょう。 (2)では全体の長方形からコマの通っていない部分をひいて答えを出すこともできますが、そのやり方では(3)で事実上不可 能となります。それと反射の角度が45°なので、結果大きな正方形となり、最小公倍数が使えます。

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