23年度灘1日目　解説　

[1]　３÷0,0625＝48　48＋69＝117　 117×23＝2691　 2691−2011＝680

　答え　680

[2]　各位の１つおきの数字の和の差が11の倍数となると き、もとの整数 は11の 倍数となる。
最大のものなので試しに、９８７６５とすると、９＋７＋５＝21　８＋６＝＝14　21−14＝7で11の倍数にならない。そこで、 ９８７２５とすると、 21−(8＋2)＝11で11の倍数となる。さらに９８７３６とすると、22−11＝11となり、11の倍数になる。これが最大であ る。

答え　98736

[3]　12%と22%の利益が等しいので、この利益を12 と22の 最小公倍数132とおく。このとき原価は甲が132÷12×100＝1100、乙が132÷22×100＝600(いずれも比の数字)と なる。 132＝2×2×３×11なので、利益132は実際の金額では、132÷２＝66円、132÷4＝33円、132÷11＝12円・・・な どとなるが、この うち例えば12円は12÷0.22が整数とならないので不適。33円のときは、甲の最も安い原価は、33÷0.12＝275円となり、問 題の意味に合う。

答え　275円

[4]　150と60と100の最小公倍数300の仕事量と する。Aは２/ 分、Bは ５/分、Cは3/分の速さで仕事するので(5＋3)×10分＋３×30分＝170の仕事をした残りの300−170＝130の仕事を ３人でしたことになる ので、130÷(2＋5＋3)＝13分かかる。(13＋10＋30)−30＝23分長くなる。

答え　23分

　　　
[5]　合計金額を５０円にするときは、１円硬貨を○枚、５円硬貨を△枚、 １０円硬 貨を□枚とすると、○＋５×△＋１０×□＝５０となり、○、△は０以上なので、50−10×□が0以上となる。よって、 □＝5,4,3,2,1,0とな る。
□＝５のとき、(○、△)＝(0,0)・・・１通り
□＝４のとき、○＋５×△＝10　同様にし て、○は０以上 なので１０−５×△が ０以上となる。よって、△＝2,1,0の３通り
□＝３のとき、○＋５×△＝20　同様にして、○は０以上なので2０−５×△が０以上 となる。よっ て、△＝4,3,2,1,0の5通り
□＝2のとき、○＋５×△＝30 　同様にして、○は０以上なので3０−５×△が０以上となる。よって、△＝6,5,4,3,2,1,0の7通り
□＝1のとき、○＋５×△＝40 　同様にして、○は０以上なので4０−５×△が０以上となる。よって、△＝8,7,6,5,4,3,2,1,0の9通り
□＝0のとき、○＋５×△＝50 　同様にして、○は０以上なので5０−５×△が０以上となる。よって、△＝10,9,8,7,6,5,4,3,2,1,0の11通り

また、５０円硬貨を１枚の場合もあるので、 １＋３＋５＋７＋９＋１１＋１＝３７通りとなる。

答え　３７通り

次に、合計金額を１００円にするときは、５０円硬貨を２枚のとき１通 り、５０円硬貨 を１枚のとき、あと５０円作るので前問より３６通り、５０円硬貨を０枚のとき前問と同様にして、○＋５×△＋１０×□＝１００
□＝10のとき、(○、△)＝(0,0)・・・１通り
□＝９のとき、○＋５×△＝10　で３通り
□＝８のとき、○＋５×△＝20　で５通り
・
・
・
□＝０のとき、○＋５×△＝１００で21通り
連続する奇数列になるので、(1＋21)×11÷２＝121通り
したがって、１＋３６＋１２１＝１５８通りとなる。

答え　158通り

　　　
　　　

[6]　この時計の時針を止めて考えると、秒針の動く速さは、360°/分であり、正しい時計の秒針の速さも同じように考えると 360−0.5＝359.5°/分である。この時計の方が正しい時計より針の動く速さが速いことになり、答えは60分より小さくなるはずであ る。 359.5：360＝□分：60分　より、□＝359.5×60÷360＝719/12分＝59分55秒となる。

答え　59分 55秒

                        
        

[7]　さいころを４回投げるとき、はじめ１の目のとき
１２３１、１２４１、１２５１、１２６１
１３２１、１３４１、１３５１、１３６１
・・・・
１６・・、・・・・・・・・・・・・・・
となるので、２回目のさいころの目が２、３、４、５、６の５通りあり、４通り×５通り＝20通りある。
はじめの目は１から６までの６通りあるので、20×６＝120通りとなる。

答え　120通り

さいころを５回投げるときは、たとえば1231と４回投げた場合で考え ると、
１１２３１、１２２３１、１２３３１、１２３１１、１２３１２、１２３１３、１２１３２の７通りある。120×７＝840通り。

答え　840通り

    

[8]　

図のように、A(P)のまわりに、BCDBCD・・・と回転して行く。１周ではなく２周するので、360×2＝720°の約数で あ り、360°の約数でな いものをX°としてさがす。240°はあてはまるが、240×3個＝720°となり三角すいにならない。144°も 144×3＝432°となり不適。頂点 Aのまわりに３個分で360°以内でおさまるのは、80°が最大で、最小は16°である。

答え　最大80、最小 16

[9]　白 い部分の三角形は４つのおうぎ形の重なった部分の三角形と合同なので、それぞれ図のように移動するとTが通過する部分の 面積は、４つのおうぎ形の面積の和に等しい。
36×3.14÷6×4＝75.36

答え　75.36

    
   
         

[10]　

図の中の三角形はすべて３：４：５の辺の比になる。
赤い三角形の面積から黄色の三角形の面積を引けばよい。
４×３÷２＝６　1×(１÷４×３)÷２＝3/8
(３÷５×４)×(3÷５×３)÷２＝54/25
６−3/8−54/25＝693/200

答え　693/200

    
      
      
      
[11]　

三角形BEMと三角形AEBが相似なので、それらと もう１つ相似な三角形ABMのとなりあう辺の比 10cm：5cm＝２：１から、ME：BE＝BE：AE すなわち１：２＝２：４　がいえる。よってAE：EM＝４：１

答え　４倍

また、三角形AMC＝５×10÷２＝25㎠＝三角形AMD(＝ 三角形ABM)　よっ て、CDとAMは平行である。だから三角形AMFと三角形CDFは相似となり、AM：CD＝(4＋1)：２＝５：２である。 (なぜなら、ピラミッドBCD からEM:DC=1:2)　すなわち、MF：FD＝５：２となることがわかる。MF＝５cm÷(5＋2)×５＝25/7cm である。

答え　25/7cm

　　　　　　

[12]　V＝９π×3÷３×2＋9π×４＝54π

答え　54倍

図のような円すい台２つの体積になるので、円すい台の体積の 公式→1/3× 高さ×π×(上半径の２乗＋下半径の２乗＋上半径×下半径) と高さの和の考え方を使って、

W＝1/3×π×6×(16＋49＋4×7)＝186π

答 え　186倍

[13]　図のように、四角すい台から三角すい台２つを引けばよい ので、角すい台の公 式、1/3×高さ ×(上底面積＋下底面積＋上下底面積の積 から２乗を取った 数)を使って、

　　　　
　　　　　
　　　　
　　　　　　
　　　　　　

　　　　
　　　　　
　　　　　　
　　　　　　

1/3×100×10×(１−4/5×4/5×4/5)−1 /3×２×(6×6÷２＋8×8÷2＋24)×2＝64

答え　64

   
    
    
      
     
     
    
   
  
       
          

23年度灘2日目　解説

[1]　

Aの長さ＝速さの和×6秒であり、Bの長さ＝ 速さの和 ×10秒となる。
６＋４＝10秒後にAの先頭とBの最後尾がすれ違い、その後Aの長さ分のみちのりをA,B合わせて進んでいるので10 秒＋6秒＝16秒後にAとBの最 後尾どうしがすれ 違う事になる。
Aの速さは、150m÷10秒＝15m/秒、 Bは 6秒間で150−78＝72m進むので、72÷6＝12m/秒と なる。
Aの長さは、(15＋12)×６＝162m　、 B の長さは、27×10＝270mで ある。

[2]　(1)　1000÷111＝9個、100÷3＝33 個、1000÷3＝333個より333−33−9＝291個

答え　291個

(2)　同様にして、500−50＝450個、90−9＝81個、 45−4＝41個 より、450＋81−41＝490個

答え　490個

(3)　2でも３でも割り切れ 111で割り切れないものと、11でも３でも割り切れ111で割り切 れないものの和になる。
すなわち６の倍数から222の倍数を取り除き、33の倍数から111の倍数を取り除き、その両方またはどちらか一方に含 まれ る整数の個数を求めればよい。
1000÷6＝166個、100÷6＝16個→166−16＝150個
1000÷222＝4個　　　よって、150−4＝146個
1000÷33＝30個、100÷33＝3個→30−3＝27個
1000÷66＝15個、100÷66＝1個→15−1＝14個　　よって、27−14＝13個
146＋13＝159個

答え　159個

　　　　　
[3]　(1)　図のように底面が水色、 青、黄色の３つの三角すいの和が４カ所あるので、
9×9×9−(3×6÷２×９×1/3＋３×９÷２×３×1/3＋３×６÷２×９×1/3)×４＝459

答え　459






      
     
       
     
    
    
     
     
    
    
  
    

(2)　(ア)

切り口の青い線が対応している。AB： 青い線＝3：2となっている。また、赤い線 どうしが対応している。

答え

　

(イ)　上図から、9×9−7×４＝53

答え　53

[4]　

(1)
　　
　　　　　　　　　　　
　　　
影は次のようになる。面ADSPによっても影ができる。影の連続性からS点、Q点から順に結べば影の部分がわかるはず。

　25/3

(2)　陽が当たっている部分の面積は、上図の台形と三角形の和となるので、
(10＋5)×25/3÷２＋10×25/3÷２＝625/6　であ る。

答え　625/6

    
       
     
[5]　(1)　1をかけても、1,2,3,4,5のままである。5をかけると 5,4,3,2,1とかわるので、１の目と５の目の出方を数え上げればよい。 111,115,151,155,511,515,551,555の８通りあ る。

答え　8通り

(2)　2や4をかけると、余りは３通りにな る。1,2,4,5のうちから3つを選 ぶ組み合わせは4通りで、そのそれぞれについて3×２×１＝6通りの並べ方があるので、4×６＝24通り
２と１だけの場合、112,121,122,211,212,221の６通りあり、２と５、４と１、４ と ５、２と４の場合も同様なので、６×５＝30通 り。２だけまたは４だけでもよいので、２通り。
よって、合計すると、24＋30＋2＝56通りある。

答え　56通り

(3)　さいころの目が３回の積のなかで6の 倍数となれば、余りは１通りになる。
　3回とも6だけのとき・・・１通り
　６と他の目のとき・・・５×５×３＝75通り
　６,６と他の目のとき・・・５×３＝15通り
　２,３と他の目のとき・・・３×３×２＝18通り
　４,３と他の目のとき・・・同様に18通り
　２,３だけのとき・・・223,232,233,322,323,332の６通り
　4 , 3だけのとき・・・同様に6通り
１＋75＋15＋18＋18＋6＋6＝139通り　

答え　139通り

中学受 験・算数を攻略〜プロ家庭教師

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