ベン図

難問26

図のように、１から順に整数が書かれた方眼紙があります。この方眼の目 の上を、 1,2,・・・9,18,17,16・・・10,19,20,21・・・27,36,35・・・の順に、金、銀、赤の三色の米を 一粒ずつ、次の規則で置いていきます。

*金の米粒は１に置いた後４つ目ごと。　(1,5,9,15・・・)

*銀の米粒は１に置いた後５つ目ごと。 (1,6,17,12・・・)

*赤の米粒は１に置いた後６つ目ごと。　(1,7,15,19・・・)

1	2	3	4	5	6	7	8	9
10	11	12	13	14	15	16	17	18
19	20	21	22	23	24	25	26	27
28	29

175と書かれたます目まで置いていった時、米粒を１つも置かなかった ます目はいくつありま すか。(1999年　同志社)

 解説

　1ます目の次に金、銀、赤の米粒がすべて置かれるのは61ます目。 よって60ますで1周期 と考える。

60÷４＝15個　　60÷5＝12個　　60÷6＝10個　　 60÷12＝5個　　 60÷20＝3個　　60÷30＝２個　　

60÷60＝１個　　重なりを取り除くと　　15＋12＋10ー5ー 3ー2＋1＝28個

180ます目までは3周期あるので、180ー28×3＝96個は米粒が 置かれていない。

ところで、最終行は　172 173 174 175 176 177 178 179 180 で、左方向へ進むので、177ます目の「175」で終わりになる。 また、178ます 目から180ます目の「174」「173」「172」は米粒が置 かれないので

　96ー3＝93個が答えとなる。　　　　　　　　答え　93個

考察
　重なりを除くに は、ベン図を書けばよ い。三回重なる中心部分は、5と3と2をひくと1回引きすぎになるので逆に1をたす必要がある。