米俵

難問31

 図のように米俵を1段あがるごとに1本ずつ減らして積み 上げていきます。1番上の段は2本以上減らしてもかまいません。積み上げる場所を、なるべくせまくするために、1番下の段を できるだけ少ない本数で積み上げていくとき、次の問いに答えなさい。(2000年 清風南海 改)

(1) 米俵を積み重ねて、5段になるのは、全部で何通りありますか。

(2) 10段になるうちで、最も多いのは何本ですか。



                            

解説

(1)

このように、ななめに1段、2段、・・・と 積んでいきます。

このように、5段積むときは、 1+2+3+4+5=15個 から、ななめに、さらに積んでいきます。図の青い部分 5×3=15個を積みおわると、上の青い点 線部分に、6個分のスペースができます。ここに、図の赤い部分の5個を積み上げることができます。言い換えれば、赤い列を図のよ うに右はしに積んでしまうと、1番下の段を最少の本数にしたことにならないので、5段の場合は、赤い列は積んではいけないことに なります。それでは、順に調べていきましょう。

正三角形に5段にならべたとき、もち ろん、OKです。(1+5)×5÷2=15・・・・15個

さらに、右はしに 5ー1=4個 積 んだとき。15+4=19・・・19個 (右はしに3個以下は、1段ごとに1本ずつ減るという問題の意味にあいま せん。)

右はしに、青の列1列分積んだとき、 15+5=20・・・20個

さらに、右はしに 5ー1=4個 積 んだとき、20+4=24・・・24個

このとき、1番上の段から1個とって もよいので、24ー1=23・・・23個

右はしに、青の2列分積んだとき、 15+10=25・・・25個

さらに、右はしに、5ー1=4個 積 んだとき、25+4=29・・・29個  このとき、1番上の段から1個とると、右はしに積んだ4個分が、最上部 の4個分のスペースに積み上げることができるので、5段にはなりません。

右はしに、青の3列分積んだとき、 15+15=30・・・30個

以上より、8通りで す。

(2)


 55+10×4=95個 この状態で正解 になります。

確かめましょう。

このときは、赤の1列が、最上部の10個 分のスペースに積めるので、10段になりません。

このときは、1段上がるごとに1本ずつ減 らすという、問題の意味に合いません。また、右はしに9個積んだときも、最上部のスペースに積めるので、10段になりません。

考察

ななめに1段ずつ積んでいくこと、が何よりも重要です。下から1段ずつと考える と迷路に入ってしまいます。