分銅

難問28

てんびんばかりと、５g、５０g、５００gの分銅が１つずつ、１g、１０g、１００gのおもりが４個ずつある。４８７gの金属のかたまりをはかりの右側の皿にのせ、片側または両側の皿にいくつかのおもりをのせて左右をつりあわせる。両側に同じ重さのおもりはのせないものとして、つり合わせ方は何通りあるか。(2000年　灘)

　

解説

　つり合う重さの一の位が７のとき、(左の皿、右の皿)の順にのせる分銅を書いてみると、

(100g×4+50g+10g×3+5g+1g×2、0)=487g

(500g+5g+1g×2、10g×２）=507g

(500g+10g×3+5g+1g×2、50g)=537g

(500g+50g+10g×3+5g+1g×2、100g)=587g　　以上４通りある。

　またこれ以外では、つり合う重さの一の位が２のとき(1g×２、５g）、つり合う重さの一の位が０のとき(0、1g×3)の２通りが考えられる。このそれぞれの場合について十の位のつりあいを考えると、十の位はすでに９になっているので、

十の位が４のとき(10g×4、50g)、十の位が０のとき(0、10g×1)、十の位が９(50g+10g×４、0）の３通りが考えられる。すなわち、

(500g+10g×4+1g×2、50g+5g)=542g

(500g+1g×2、10g×1+5g)=502g

(100g×4+50g+10g×4+1g×2、５g)=492g

(500g＋50g+10g×4+1g×2、100g×1+5g)=592g

(500g+10g×4、50g+1g×3)=540g

(500g、10g×1+１g×3)=500g

(100g×４＋５０g＋10g×4、1g×3)=490g

(500g+50g+10g×4、100g×1+1g×3)=590g　　以上８通りある。

　４＋８＝１２通り　　　答え　12通り

考察

　100gの分銅も両方にのせられないので、最大で599gまでです。各皿全体の重さが４００g代の時は、100g×４のかわりに５００gで置き換えることができます。一の位を決め、十の位を決め、最後に百の位を決めます。いずれにしても、数分でもれなく12個をぬきだすのは至難の技です。では、次のような問題はどうでしょう。

(問い)　5gの分銅が２個、３gの分銅が２個ある。片側または両側の皿にいくつかのおもりをのせて左右をつりあわせる。両側に同じ重さのおもりはのせないものとして、つり合わせ方は何通りあるか。

左の皿にのせる分銅はそのままたして、右の皿にのせる分銅は引き算することになるので、ーをつけて表すと下の表のようになる。

5g	2	2	2	2	2	1	1	1	1	1	0	0	0	0	0	-1	-1	-1	-1	-1	-2	-2	-2	-2	-2
3g	2	1	0	-1	-2	2	1	0	-1	-2	2	1	0	-1	-2	2	1	0	-1	-2	2	1	0	-1	-2
計	16	13	10	7	4	11	8	5	2	1	6	3		3	6	1	2	5	8	11	4	7	10	13	16

以上　12通り　となる。もちろん、５gの-1個や-2個の場合はすべて重なるので、考えなくてよいことになります。一般的には、分銅の問題ではこのように個数表を作って考えましょう。