二次 元ツリー

基本公式22

樹形図ともいいますが、基本でありながら難問を解くのに有効な場合が数多くあります。特に、単 に要素を書き並べるのではなく、場所(要素)という形で、二次元で表すツリーが有効です。

(問い)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

A、B、Cの3人が図のような9つのます目を1、2、3、・・・・の順に取っていく陣取りゲー ムをします。3人でじゃんけんをして勝ちを1人きめ、勝った人が1から順にます目を1つ自分の陣地にしていきます。たて、または横の同じ列上に同じ人が2 つの陣地(はなれていてもよい)を取った時、そのゲームは終わります。たとえばBACABAの順に勝てば

B

A

C

A

B

A



となり、そのゲームは終わりです。(神戸女学院)

(1) Aが5の陣地をとってゲームが終わる時、1から4までの陣地の取り方は何通りあります か。

(2) 9まで陣地を取ってもゲームが終わらない時、陣地の取り方は何通りありますか。

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解説

(1) 樹形図を書く。例えば、Bが1番を取ることを1(B)と書くことにする。

最初にCがくる場合もあるので、3×2=6通り

答え 6通り

(2) 

同様にして、1、2、3番のならべかたが、3×2×1=6通りあり、そのそれぞれについて上の ように

2通りずつあるので、6×2=12通りある。

答え 12通り

考察

普通の樹形図では、上に 1 2 3 4 5 6 と書きならべて、下にA B Cを樹形に並べますが、これでは場所との関連が分かりずらく、複雑な問題に対処できません。二次元ツリーを是非ともマスターしましょう。普通の樹形図では できなかった複雑なぬり分け問題なども、これで簡単に解決です。

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