二次 元ツリー

基本公式22

樹形図ともいいますが、基本でありながら難問を解くのに有効な場合が数多くあります。特に、単 に要素を書き並べるのではなく、場所(要素)という形で、二次元で表すツリーが有効です。

(問い)

1	2	3
4	5	6
7	8	9

A、B、Cの３人が図のような９つのます目を1、2、3、・・・・の順に取っていく陣取りゲー ムをします。３人でじゃんけんをして勝ちを1人きめ、勝った人が１から順にます目を１つ自分の陣地にしていきます。たて、または横の同じ列上に同じ人が２ つの陣地(はなれていてもよい)を取った時、そのゲームは終わります。たとえばBACABAの順に勝てば

B	A	C
A	B	A

となり、そのゲームは終わりです。(神戸女学院)

(1)　Aが５の陣地をとってゲームが終わる時、１から４までの陣地の取り方は何通りあります か。

(2)　９まで陣地を取ってもゲームが終わらない時、陣地の取り方は何通りありますか。

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解説

(1)　樹形図を書く。例えば、Bが1番を取ることを1(B)と書くことにする。

最初にCがくる場合もあるので、3×２＝6通り

答え　6通り

(2)　

同様にして、1、2、3番のならべかたが、3×2×1＝6通りあり、そのそれぞれについて上の ように

2通りずつあるので、6×2＝12通りある。

答え　12通り

考察

普通の樹形図では、上に　1　2　3　4　5　6　と書きならべて、下にA B Cを樹形に並べますが、これでは場所との関連が分かりずらく、複雑な問題に対処できません。二次元ツリーを是非ともマスターしましょう。普通の樹形図では できなかった複雑なぬり分け問題なども、これで簡単に解決です。

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