既約
分数
応用公式19
このように、既約分数は左右対称にあらわれます。こ
のことから、既約分数の和は外側から内側に向って対称に足して行きます(ガウス公式)。
例えば、上図で、1/5＋2/5＋3/5＋4/5＝(1/5
＋4/5)×4÷2＝2 となります。
(問い)
1から300までの整数のうちで、2でも3でも5でも割り切
れない整数の個数とその和を求めなさい。
(奈良学園改)
解答
aが2でも3でも5でも割り切れない整数であるということは、aを分子、2,3,5の最小公倍
数30を分母とする分数が、既約分数(それ以上約分できない分数)であるということになります。
0と1の間にある既約分数は、
1／30、7／30、11／30、13／30、17／30、19／30、23／30、
29／30
の8個で、同様に1と2の間にある既約分数も8個です。したがって、0と10のあいだにある既
約分数は8個×10＝80個あります。よって、1から300までの整数のうちで2でも3でも5でも割り切れない整数の個数は80個です。
ところで、0と10のあいだにある既約分数のうちで、最小の既約分数は1/30で、最大の既約
分数は299/30です。したがって、ガウス公式により、その総和は
(1/30＋299/30)×80÷2＝10×80÷2＝400となります。ところで、求めた
いのは分子の和だから、400×30＝12000
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(問い)
同じように考えて、1から840までの整数のうち、2でも3でも7でも割り切れない整数の個数
と、その和を求めなさい。
解答
12×20＝240個 20×120×42＝100800
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