既約 分数

応用公式19

このように、既約分数は左右対称にあらわれます。こ のことから、既約分数の和は外側から内側に向って対称に足して行きます(ガウス公式)。

例えば、上図で、1/5+2/5+3/5+4/5=(1/5 +4/5)×4÷2=2 となります。

(問い)

1から300までの整数のうちで、2でも3でも5でも割り切 れない整数の個数とその和を求めなさい。

    (奈良学園改)



解答

aが2でも3でも5でも割り切れない整数であるということは、aを分子、2,3,5の最小公倍 数30を分母とする分数が、既約分数(それ以上約分できない分数)であるということになります。

0と1の間にある既約分数は、

1/30、7/30、11/30、13/30、17/30、19/30、23/30、 29/30

の8個で、同様に1と2の間にある既約分数も8個です。したがって、0と10のあいだにある既 約分数は8個×10=80個あります。よって、1から300までの整数のうちで2でも3でも5でも割り切れない整数の個数は80個です。

ところで、0と10のあいだにある既約分数のうちで、最小の既約分数は1/30で、最大の既約 分数は299/30です。したがって、ガウス公式により、その総和は

(1/30+299/30)×80÷2=10×80÷2=400となります。ところで、求めた いのは分子の和だから、400×30=12000

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(問い)

同じように考えて、1から840までの整数のうち、2でも3でも7でも割り切れない整数の個数 と、その和を求めなさい。



解答

12×20=240個  20×120×42=100800


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