同じ ものを含む順列

応用公式17

n個のものならべるとき、p個が同じもので、q個がそれと異なる同じもので、r個がさらにそれ と異なる同じもの・・・・・であるとき、並べ方の総数(順列)は

n!÷(p!×q!×r!・・・・)　となる。ただし、例えば、4！＝4×3×2×1　である。

(問い)

９枚のカード２、２、３、３、３、４、４、４、４　のうち4枚を取り出して、並べてできる4け たの整数は全部で何通りあるか。　　　　(灘)

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解答 　まず、４枚の組み合わせを考えます。数字やアルファベットが逆戻りしないように並べる仕方を、辞書式配列といいますが、重なりを避けて正確に組み合わせをぬきだすのに便利な方法です。

ここでは、4けたの整数を小さいもの順に並べます。

2233　2234　2244　2333　2334　2344　2444　3334　3344　3444　4444

以上のうち、4個の数字のうち、同じものが2個で、さらに他の2個が同じものは

2233　2244　3344　の３個ある。

4個の数字のうち、同じものが2個だけあるものは。

2234　2334　2344　の3個ある。

4個の数字のうち、同じものが3個あるものは

2333　2444　3334　3444　の4個ある。

それぞれの順列を求めればよいので、

4！÷(2！×2！)×3＋4！÷2！×3＋4！÷3！×4＋1＝71通り　と なる。

　

考察

　A B C の3つの文字を辞書式に配列すると、

ABC 　ACB　BAC　BCA　CAB　CBA　となります。

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