同じ ものを含む順列

応用公式17

n個のものならべるとき、p個が同じもので、q個がそれと異なる同じもので、r個がさらにそれ と異なる同じもの・・・・・であるとき、並べ方の総数(順列)は

n!÷(p!×q!×r!・・・・) となる。ただし、例えば、4!=4×3×2×1 である。

(問い)

9枚のカード2、2、3、3、3、4、4、4、4 のうち4枚を取り出して、並べてできる4け たの整数は全部で何通りあるか。    (灘)



解答  まず、4枚の組み合わせを考えます。数字やアルファベットが逆戻りしないように並べる仕方を、辞書式配列といいますが、重なりを避けて正確に組み合わせをぬきだすのに便利な方法です。

ここでは、4けたの整数を小さいもの順に並べます。

2233 2234 2244 2333 2334 2344 2444 3334 3344 3444 4444

以上のうち、4個の数字のうち、同じものが2個で、さらに他の2個が同じものは

2233 2244 3344 の3個ある。

4個の数字のうち、同じものが2個だけあるものは。

2234 2334 2344 の3個ある。

4個の数字のうち、同じものが3個あるものは

2333 2444 3334 3444 の4個ある。

それぞれの順列を求めればよいので、

4!÷(2!×2!)×3+4!÷2!×3+4!÷3!×4+1=71通り と なる。

 

考察

 A B C の3つの文字を辞書式に配列すると、

ABC  ACB BAC BCA CAB CBA となります。

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