同じ
ものを含む順列
応用公式17
n個のものならべるとき、p個が同じもので、q個がそれと異なる同じもので、r個がさらにそれ
と異なる同じもの・・・・・であるとき、並べ方の総数(順列)は
n!÷(p!×q!×r!・・・・) となる。ただし、例えば、4!=4×3×2×1 である。
(問い)
9枚のカード2、2、3、3、3、4、4、4、4 のうち4枚を取り出して、並べてできる4け
たの整数は全部で何通りあるか。 (灘)
解答 まず、4枚の組み合わせを考えます。数字やアルファベットが逆戻りしないように並べる仕方を、辞書式配列といいますが、重なりを避けて正確に組み合わせをぬきだすのに便利な方法です。
ここでは、4けたの整数を小さいもの順に並べます。
2233 2234 2244 2333 2334 2344 2444 3334 3344 3444 4444
以上のうち、4個の数字のうち、同じものが2個で、さらに他の2個が同じものは
2233 2244 3344 の3個ある。
4個の数字のうち、同じものが2個だけあるものは。
2234 2334 2344 の3個ある。
4個の数字のうち、同じものが3個あるものは
2333 2444 3334 3444 の4個ある。
それぞれの順列を求めればよいので、
4!÷(2!×2!)×3+4!÷2!×3+4!÷3!×4+1=71通り と
なる。
考察
A B C の3つの文字を辞書式に配列すると、
ABC ACB BAC BCA CAB CBA となります。
問題にもどる
もどる