メネ ラウスの定理 チェバの定理

応用公式9

いずれの図でも、ア/イ×ウ/エ×オ/カ=1 です。(/は分数の意味です)

(問い) 次の図のような、三角形ABCでAD,BE,CF が点Gを通っています。またBDとDCの長さの比は

2:1、AEとECの長さの比は、2:3です。

このとき、次の問いに答えなさい。(慶応義塾)

(1) AGとGDの長さの比を最も簡単な整数の比で表しな さい。

(2) 三角形ABCの面積が30平方センチのとき、三角形 AFCの面積をもとめなさい。

解答解説へ



解答  (1) 三角形ACDにメネラウスの定理を使って、2/3×3/2×DG/GA=1よりDG/GA=1よって、AG: GD=1:1

(2) 三角形ABCにチェバの定理を使って、AF/FB×2/1×3/2=1より、

AF/FB=1/3 すなわち AF:FB=1:3 

よって、三角形AFC=30平方センチ÷4×1=7.5平方センチ

考察  三角形GDCの面積を1とおいて、面積比で解決できますが、自動処理ではこんな感じです。メネラウスの定理ではまず 適用する三角形を決めます。三角形の3頂点のどれかから、どちらかに1周すると覚えておきましょう。

問題にもどる 

もどる