中学受験、体積
比
中
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応用公式5
前ページの三角形の面積比の公
式を、三角すいに拡張したのが 次の公式です。
小三角すいの体積:大三角すい
の体積=(短×短×短):(長 ×長×長)
なぜでしょうか。右図のように
みどりの三角形を底面と考え、
頂点から図のように底面に垂直に青い補助線をひきます。すると、高さアが小三角すいの高さに、高さイが大三角すいの高さにな
ります。このとき、ピラミッド の相似より高さア:高さイ=短:長 となり、みどりの底面の面積比の短×短:長×長に、この高さの比の短×長をかけると上記の公式になります。
(問い)下の図の立体は正四角すいといい、底面が正方形で、
OA,OB,OC,ODの長さはす
べて等しい。また、E,FはそれぞれOB,ODを3:1の比に、GはOCを3:2の比に分けている。このとき、EGFAを通
る平面により分けられた正四角
すいの2つの部分のうちOを含む部分の体積と正四角すいの体積の比をもとめよ。 (灘中学 改)
解答 三角すいOABCと三角すいOACDに分けて考える。
OE×OG×OA:OB×OC×OA=3×3×1:4×5×1=9:20
(9+9): (20+20)=9:20
考察 A点はOAを1:0に分けると考えると、この公式が使え
ます。
四角すいや円柱では、高さの平均を求めて、底面積にかけると体積
が求まります。
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