体積 比

応用公式5

前ページの三角形の面積比の公式を、三角すいに拡張したのが 次の公式です。

小三角すいの体積:大三角すいの体積=(短×短×短):(長 ×長×長)

なぜでしょうか。右図のようにみどりの三角形を底面と考え、 頂点から図のように底面に垂直に青い補助線をひきます。すると、高さアが小三角すいの高さに、高さイが大三角すいの高さになります。このとき、ピラミッド の相似より高さア:高さイ=短:長 となり、みどりの底面の面積比の短×短:長×長に、この高さの比の短×長をかけると上記の公式になります。

(問い)下の図の立体は正四角すいといい、底面が正方形で、OA,OB,OC,ODの長さはす べて等しい。また、E,FはそれぞれOB,ODを3:1の比に、GはOCを3:2の比に分けている。このとき、EGFAを通る平面により分けられた正四角 すいの2つの部分のうちOを含む部分の体積と正四角すいの体積の比をもとめよ。 (灘中学 改)



解答  三角すいOABCと三角すいOACDに分けて考える。

OE×OG×OA:OB×OC×OA=3×3×1:4×5×1=9:20    (9+9): (20+20)=9:20

考察  A点はOAを1:0に分けると考えると、この公式が使えます。

四角すいや円柱では、高さの平均を求めて、底面積にかけると体積が求まります。


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