体積
比
応用公式5
前ページの三角形の面積比の公式を、三角すいに拡張したのが
次の公式です。
小三角すいの体積：大三角すいの体積＝(短×短×短)：(長
×長×長)
なぜでしょうか。右図のようにみどりの三角形を底面と考え、
頂点から図のように底面に垂直に青い補助線をひきます。すると、高さアが小三角すいの高さに、高さイが大三角すいの高さになります。このとき、ピラミッド
の相似より高さア：高さイ＝短：長 となり、みどりの底面の面積比の短×短：長×長に、この高さの比の短×長をかけると上記の公式になります。
(問い)下の図の立体は正四角すいといい、底面が正方形で、OA,OB,OC,ODの長さはす
べて等しい。また、E,FはそれぞれOB,ODを３：１の比に、GはOCを３：２の比に分けている。このとき、EGFAを通る平面により分けられた正四角
すいの２つの部分のうちOを含む部分の体積と正四角すいの体積の比をもとめよ。 (灘中学 改)
解答 三角すいOABCと三角すいOACDに分けて考える。
OE×OG×OA：OB×OC×OA＝3×3×1：4×5×1＝9：20 (9＋9)：
(20＋20)＝9：20
考察 A点はOAを1：0に分けると考えると、この公式が使えます。
四角すいや円柱では、高さの平均を求めて、底面積にかけると体積が求まります。
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