米俵    

 図のように米俵を1段あがるごとに1本ずつ減 らして積み上げていきます。1番上の段は2本以上減らしてもかまいません。積み上げる場所を、なるべくせまくするために、1番下の段をできるだけ少ない本 数で積み上げていくとき、次の問いに答えなさい。(清風南海 改)

(1) 米俵を積み重ねて、5段になるのは、全部で何通りありますか。

(2) 10段になるうちで、最も多いのは何本ですか。


解説

(1)

この ように、ななめに1段、2段、・・・と積んでいきます。

こ のように、5段積むときは、1+2+3+4+5=15個 から、ななめに、さらに積んでいきます。図の青い部分 5×3=15個を積みおわると、上の青い 点線部分に、6個分のスペースができます。ここに、図の赤い部分の5個を積み上げることができます。言い換えれば、赤い列を図のように右はしに積んでしま うと、1番下の段を最少の本数にしたことにならないので、5段の場合は、赤い列は積んではいけないことになります。それでは、順に調べていきましょう。

正三角形に5段にならべたとき、もちろん、OKです。(1+ 5)×5÷2=15・・・・15個

さらに、右はしに 5ー1=4個 積んだとき。15+4= 19・・・19個 (右はしに3個以下は、1段ごとに1本ずつ減るという問題の意味にあいません。)

右はしに、青の列1列分積んだとき、15+5=20・・・20 個

さらに、右はしに 5ー1=4個 積んだとき、20+4= 24・・・24個

このとき、1番上の段から1個とってもよいので、24ー1= 23・・・23個

右はしに、青の2列分積んだとき、15+10=25・・・25 個

さらに、右はしに、5ー1=4個 積んだとき、25+4= 29・・・29個  このとき、1番上の段から1個とると、右はしに積んだ4個分が、最上部の4個分のスペースに積み上げることができるの で、5段にはなりません。

右はしに、青の3列分積んだとき、15+15=30・・・30 個

以上より、8通りです。

(2)


 55+10×4=95個 この状態で正解になります。

確かめましょう。

こ のときは、赤の1列が、最上部の10個分のスペースに積めるので、10段になりません。

こ のときは、1段上がるごとに1本ずつ減らすという、問題の意味に合いません。また、右はしに9個積んだときも、最上部のスペースに積めるので、10段にな りません。

考察

ななめに1段ずつ積んでいくこと、が何よりも重要です。下から1段ずつと考えると迷路に入ってしまいます。

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