米俵
図のように米俵を1段あがるごとに1本ずつ減
らして積み上げていきます。1番上の段は2本以上減らしてもかまいません。積み上げる場所を、なるべくせまくするために、1番下の段をできるだけ少ない本
数で積み上げていくとき、次の問いに答えなさい。(清風南海 改)
(1) 米俵を積み重ねて、5段になるのは、全部で何通りありますか。
(2) 10段になるうちで、最も多いのは何本ですか。
解説
(1)
この
ように、ななめに1段、2段、・・・と積んでいきます。
こ
のように、5段積むときは、1＋2＋3＋4＋5＝15個 から、ななめに、さらに積んでいきます。図の青い部分 5×3＝15個を積みおわると、上の青い
点線部分に、6個分のスペースができます。ここに、図の赤い部分の5個を積み上げることができます。言い換えれば、赤い列を図のように右はしに積んでしま
うと、1番下の段を最少の本数にしたことにならないので、5段の場合は、赤い列は積んではいけないことになります。それでは、順に調べていきましょう。
正三角形に5段にならべたとき、もちろん、OKです。(1＋
5)×5÷2＝15・・・・15個
さらに、右はしに 5ー1＝4個 積んだとき。15＋4＝
19・・・19個 (右はしに3個以下は、1段ごとに1本ずつ減るという問題の意味にあいません。)
右はしに、青の列1列分積んだとき、15＋5＝20・・・20
個
さらに、右はしに 5ー1＝4個 積んだとき、20＋4＝
24・・・24個
このとき、1番上の段から1個とってもよいので、24ー1＝
23・・・23個
右はしに、青の2列分積んだとき、15＋10＝25・・・25
個
さらに、右はしに、5ー1＝4個 積んだとき、25＋4＝
29・・・29個 このとき、1番上の段から1個とると、右はしに積んだ4個分が、最上部の4個分のスペースに積み上げることができるの
で、5段にはなりません。
右はしに、青の3列分積んだとき、15＋15＝30・・・30
個
以上より、8通りです。
(2)
55＋10×4＝95個 この状態で正解になります。
確かめましょう。
こ
のときは、赤の1列が、最上部の10個分のスペースに積めるので、10段になりません。
こ
のときは、1段上がるごとに1本ずつ減らすという、問題の意味に合いません。また、右はしに9個積んだときも、最上部のスペースに積めるので、10段にな
りません。
考察
ななめに1段ずつ積んでいくこと、が何よりも重要です。下から1段ずつと考えると迷路に入ってしまいます。