0の個数

整数を1から順にある整数まで並べて、下の作業1から3を順におこなう。

作業1 : 6で割ると3あまる数は、その数を5と入れ替える。

作業2 : 6で割り切れる数は、その数を25と入れ替える。

作業3 : すべての数をかける。

たとえば、1から10まで並べた場合は

作業1 1 2 3 4 5 6  7 8 9 10

    1 2 5 4 5 6  7 8 5 10

作業2 1 2 5 4 5 25 7 8 5 10

作業3  1×2×5×4×5×25×7×8×5×10=14000000

 こうしてできた数14000000は、1の位から順に0が6個あらわれたあと7個目にはじめて0 でない数4があらわれる。1から400まで並べた場合、上の作業をおこなってできた数は、1の位から順に0が何個あらわれたあとはじめて0でない数があら われるか。

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解説

 2と5をかけると0がひとつ増えるので、まず2がいくつふくまれるかを調べる。

1から400までに2が

400÷2=200個 400÷(2×2)=100個 400÷(2×2×2)=50 個・・・・・・400÷400=1個 

のようになるので 作業前は、2は 200+100+50+25+12+6+3+1=397個ふく まれる。このうち、作業後6の倍数が2の倍数でなくなるので、6の倍数について調べる。

6×1から6×66までに66個の6の倍数があるが、1から66までの中にも2が

66÷2=33個 66÷(2×2)=16個 66÷(2×2×2)=8個・・・・・・・・・・ 66÷64=1個

のように 33+16+8+4+2+1=64個ふくまれるので、2が消える個数は、66+64= 130個 となる。よって作業後2は397ー130=267個ふくまれることになる。

つぎに5がいくつふくまれるかを調べる。

上図のように、6で割って3あまる数、6の倍数、5の倍数から重なりの部分をひいて5の倍数の個数 を求める。

400÷6=66...より 6で割って3あまる数は67個、6の倍数は66個、400÷5=80 より 5の倍数は80個、

400÷30=13...より 重なりの部分はいずれも13個だから、5の倍数は67+66+80-13-13=187 個になる。

次に、25の倍数の個数を求める。25の倍数から6の倍数+3との重なりの部分をひき(作業1に よって5の倍数になってしまうので)、6の倍数の部分をたして、6の倍数との重なりの部分をひけばよい。

400÷25=16個 6×25=150 400÷150=2個...より、25の倍数は 66+16-2-3=77 個

125の倍数は 125と 250 の2個。以上より5は 187+77+2=266個ふくまれる。2は267個ふくまれるので0は1の位から266個あらわれたあと はじめて0でない数があらわれる。   答え 266個



考察
 
6の倍数はすべて2の倍数にふくまれるので、2の個数130個 をすべてをひく必要がある。

5の倍数でしかも6の倍数より3大きい数は 15、45、 75・・・375より (375ー15)÷30+1=13個ある。

以上かなりとんでもない問題で、本番では、手をだしてはいけない 問題かもしれません。

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