倍数と規則性

図のように、1から順に整数が書かれた方眼紙があります。この方眼の目の上を、 1,2,・・・9,18,17,16・・・10,19,20,21・・・27,36,35・・・の順に、金、銀、赤の三色の米を一粒ずつ、次の規則で置い ていきます。

*金の米粒は1に置いた後4つ目ごと。 (1,5,9,15・・・)

*銀の米粒は1に置いた後5つ目ごと。 (1,6,17,12・・・)

*赤の米粒は1に置いた後6つ目ごと。 (1,7,15,19・・・)

1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25 26 27
28 29






175と書かれたます目まで置いていった時、米粒を1つも置かなかったます目はいくつありますか。




解説

 1ます目の次に金、銀、赤の米粒がすべて置かれるのは61ます目。よって60ますで1周期と考え る。

60÷4=15個  60÷5=12個  60÷6=10個  60÷12=5個  60÷20= 3個  60÷30=2個  

60÷60=1個  重なりを取り除くと  15+12+10ー5ー3ー2+1=28個

180ます目までは3周期あるので、180ー28×3=96個は米粒が置かれていない。

ところで、最終行は 172 173 174 175 176 177 178 179 180 で、左方向へ進むので、177ます目の「175」で終わりになる。また、178ます目から180ます目の「174」 「173」「172」は米粒が置かれないので

 96ー3=93個が答えとなる。       

 答え 93個



考察
 
重なりを除くには、ベン図を書けばよい。三回重なる中心部分 は、5と3と2をひくと1回引きすぎになるので逆に1をたす必要がある。

          

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