約数の個数

1から100までの整数を1つずつ書いたカードが100枚あります。カードは片 面が白で、もう一方の面が赤であり、どちらの面にも同じ数が書かれています。さらに整数を1つずつ書いた玉が箱の中に入っています。最初に、100枚の カードを白の面を上にして並べておいて、次の操作をします。

操作:箱の中から玉を1つ取り出し、その玉に書かれた数の倍数が書かれたカードをすべて裏返しにす る。

この操作を100回行いました。取り出された玉に書かれた数は、1から100までの整数が1回ずつ すべて出ました。100回の操作の後、赤の面が上になっているカードは何枚ありますか。




解説

 赤の面が上になるためには、1回、3回、5回といったように、奇数回裏返しする必要がある。例え ば、4のカードは、玉に書かれている数が1、2、4のときの合計3回裏返されるので、赤の面が上になる。このようにカードの数が約数を奇数個持てば、奇数 回裏返される。

ところで、約数の個数が奇数個である数は、平方数だけである。

1、4、9、16、25、36、49、64、81、100 の10枚ある。  

  答え 10枚



考察
 
100=4×25 において、4は約数を3個、25は3個持つ ので、100は3×3=9個の約数を持つ。このように、平方数または平方数の積で表される数は、約数を奇数個持つ。また例えば、3は約数を2個、3×3× 3=27は約数を4個持つ。このような平方数以外の数が積の中に1つでも含まれていると、その整数は約数を偶数個持つことになる。

下の表は、4の約数を横に、25の約数をたてに並べて、100の 約数の一覧表をつくっている。


1 2 4
1 1 2 4
5 5 10 20
25 25 50 100
 

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