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　 図1のような長さ100cmで太さが一様でない棒ADがあり、点Aの右20cmの点をBとし、点Dの左10cmの点をCとし ます。点A、B、C、Dには フックがついていて、図2のように点Aを床にのせて点Cを上に引っぱって少し持ち上げるとき、0.2kg力が必要でした。次 に図3のように点Dを床にのせ て点Bを上へ引っぱって少し持ち上げるとき、0.15kgの力が必要でした。これについて、次の問いに答えなさい。 (甲陽学院中)

(1)　図2で、点Cのかわりに点Dを持ち上げるには何kgの力 が必要ですか。

(2)　この棒の重さは何kgありますか。

(3)　この棒の重心の位置は、点Aから何cmのところにありま すか。ただし、重心とは、もの の重さが1点にはたらくと考えられる点のことです。

(4)　図4のように、点Dを糸で天井からつるし、点Cには 0.16kgのおもりをかけます。 点Bにばねばかりをつけて、この棒を水平に支えるとき、ばねばかりの目盛りは何kgを示しますか。

解説

(1)　図2でAを支点とした ときのモーメントのつりあい は、棒の重心をGとすると、

0.2kg×90cm＝棒の重 さ×AGの長さ　となるが、必 要な左回りのモーメントは、点Cを持ち上げるときも、点Dを持ち上げるときも変わらないので、点Dを□kgで持ち上げるとす ると、

0.2kg×90cm＝□kg×100cm 　　　　よって　 □＝0.18kg　　　

　答 え　0.18kg

(2)　図3で、同様にして、点Bのかわりに点Aを□kgで持ち上げる とすると、

0.15kg×80cm＝□kg×100cm 　　よって　□ ＝0.12kg

ここで、棒の両端を持ち上げた力の和が棒の重さに 等しいので、

0.18kg＋0.12kg＝0.3kg 　　　　　　　　　 　　　　　　　　　

　答 え　0.3kg

(3)　Aから□cmに重心があるとすると、

0.2kg×90cm＝0.3kg×□cm 　　よって、□＝ 60cm　　　　　　

答え　60cm

(4)　Dを支点とすると、 0.3kg×(100−60)cm＋0.16kg×10cm＝□kg×80cm

よって、□＝0.17kg　　 　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　

答え　0.17kg

考察

棒の両端を持ち上げた力の和が 棒の重さに等しいについては、数学的な計算が必要ですが、次のように説明できます。AやDで上に持ち上げる 力をそれぞれAkg,Bkg、重心Gにかかる力をGkg,とすると、図3と図2で、それぞれ、A×100＝G×40 　D×100＝G×60　となり、等式の左側どうしをたし、右側 どうしをたし、それらは等しいので、＝で結ぶと、

(A＋D)×100＝G×100　　すなわち、A＋D＝G　が成り立ちます。